"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Площадь треугольника можно находить не только по основанию и высоте: выбор формулы зависит от того, какие величины известны. Если даны две стороны и угол между ними, пригодится синус; если известны все стороны — формула Герона. Площадь также выражается через радиусы вписанной и описанной окружностей. Умение выбирать подходящую формулу помогает решать задачи короче и проверять, согласуются ли между собой данные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько места занимает фигура на плоскости. Если известны основание a и высота h, проведённая к нему, площадь вычисляют по формуле S = ah / 2. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Такой способ служит основой для других формул площади.
Полупериметр — половина периметра треугольника; его обозначают p и находят по формуле p = (a + b + c) / 2. Здесь a, b и c — длины сторон, а периметр равен их сумме. Полупериметр нужен, в частности, в формуле Герона, где он сочетается с разностями между ним и каждой стороной. Не путайте p с полным периметром.
Радиус вписанной окружности обозначают r. Эта окружность касается каждой стороны треугольника, а её центр равноудалён от всех трёх сторон; расстояние от центра до стороны и есть r. Именно такое расстояние становится высотой в трёх меньших треугольниках, на которые можно разбить исходный. Поэтому радиус позволяет выразить площадь через полупериметр.
Радиус описанной окружности обозначают R. Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника, поэтому R — расстояние от её центра до любой вершины. В отличие от r, он связан не со сторонами, а с вершинами. Радиус R входит в формулу, которая выражает площадь через три стороны и радиус описанной окружности.
Начнём с формулы S = ah / 2. Если взять сторону b за основание, высота к ней из прямоугольного треугольника, образованного сторонами a и b, равна a sin C, где C — угол между этими сторонами. Подставляя эту высоту в S = bh / 2, получаем S = ab sin C / 2. Значит, формула позволяет заменить неизвестную высоту известными сторонами и углом.
Когда известны все три стороны, высоту можно не искать: площадь находят по формуле Герона S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). В ней нет углов или высот, поэтому достаточно вычислить полупериметр. Формула получается из связи площади с высотой и теоремы косинусов: теорема косинусов позволяет выразить косинус угла через стороны, а затем получить выражение для площади. Под корнем должно получиться неотрицательное число.
Связь S = pr следует из разбиения треугольника на три меньших треугольника. Их общая вершина — центр вписанной окружности, а высота каждого из них к одной из сторон равна r, потому что радиус к точке касания перпендикулярен стороне. Складывая площади трёх частей, получаем S = (ar + br + cr) / 2. Так как (a + b + c) / 2 = p, выходит S = pr.
Если известны стороны a, b, c и радиус описанной окружности R, используют формулу S = abc / 4R. Чтобы увидеть её происхождение, возьмём площадь S = ab sin C / 2, где C — угол между сторонами a и b. По теореме синусов c / sin C = 2R, поэтому sin C = c / 2R; после подстановки получается S = abc / 4R. Здесь R относится к окружности, проходящей через вершины.
Одна и та же площадь может быть выражена разными способами, но для вычисления выбирают формулу, соответствующую данным задачи. Основание вместе с высотой сразу подсказывает S = ah / 2, а две стороны с углом между ними — формулу с синусом. Три стороны позволяют применить Герона, а полупериметр с радиусом вписанной окружности — равенство S = pr. Если даны стороны и R, подходит формула S = abc / 4R.
| Формула | Какие данные нужны | Обозначения |
|---|---|---|
| S = ah / 2 | Сторона и высота к ней | a — основание, h — высота |
| S = ab sin C / 2 | Две стороны и угол между ними | a и b — стороны, C — угол между ними |
| S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) | Три стороны | p = (a + b + c) / 2 |
| S = pr | Полупериметр и радиус вписанной окружности | p — полупериметр, r — радиус |
| S = abc / 4R | Три стороны и радиус описанной окружности | a, b, c — стороны, R — радиус |
Сначала найди в условии известные величины, затем сопоставь их со вторым столбцом таблицы. В третьем столбце проверь, что именно обозначают буквы в выбранной формуле. Если подходят несколько формул, выбирай ту, в которой меньше дополнительных вычислений.
Задача 1. Найдите площадь треугольника с основанием 10 см и высотой к нему 6 см. Даны сторона и соответствующая ей высота, поэтому угол или длины остальных сторон искать не нужно. Используем формулу S = ah / 2. Следим за тем, чтобы высота 6 см была проведена именно к основанию 10 см.
Ответ: 30 см². Деление на 2 обязательно: площадь треугольника с данным основанием и высотой вдвое меньше площади параллелограмма с теми же основанием и высотой. Квадратные сантиметры указывают единицу площади. Если бы была дана высота к другой стороне, для основания 10 см она не подошла бы.
Задача 2. Две стороны треугольника равны 8 см и 5 см, угол между ними равен 30°. Найдите площадь. В условии есть именно те три величины, которые входят в формулу через синус: обе стороны и заключённый между ними угол. Синус 30° равен 1/2. Подставим данные, не забывая разделить произведение на два.
Ответ: 10 см². Здесь сначала произведение сторон умножается на синус угла, а затем делится на 2. Если в условии был бы указан угол, не лежащий между сторонами 8 см и 5 см, эту подстановку сделать было бы нельзя. Синус должен относиться к углу, который образуют именно данные стороны.
Задача 3. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь. Высота и углы не даны, зато известны все три стороны, поэтому удобнее применить формулу Герона. Сначала требуется вычислить полупериметр, а после — три разности под корнем. Проверим порядок действий, чтобы не перепутать периметр с полупериметром.
Ответ: 84 см². Перед извлечением корня полезно отдельно проверить каждый множитель: 21 − 13 = 8, 21 − 14 = 7, 21 − 15 = 6. Положительное значение под корнем согласуется с тем, что стороны образуют треугольник. В ответе записываем квадратные сантиметры, поскольку речь идёт о площади.
В формуле S = ab sin C / 2 иногда подставляют угол, который не находится между сторонами a и b. Это происходит, когда в условии указано несколько углов и не проверено, какой из них образуют нужные стороны. Перед вычислением отметьте угол у общей вершины сторон a и b или проговорите, что именно он заключён между ними. Если угол не тот, формула с данными a, b и этим углом не подходит.
В формуле Герона можно по ошибке использовать периметр вместо полупериметра. Причина обычно в том, что сначала складывают все стороны и сразу подставляют сумму за p. Чтобы себя проверить, каждый раз записывайте отдельный шаг: p = (a + b + c) / 2. Если подставленная величина равна полной сумме сторон, её нужно разделить на 2.
При вычислении по формуле S = ah / 2 иногда берут высоту, проведённую к другой стороне. Путаются потому, что в треугольнике есть три высоты и каждая относится к своей стороне. Сверьте основание и высоту по условию: если подставлено a, высота должна быть проведена к стороне a. Для проверки можно подписать у основания и высоты одинаковую букву стороны.
В формуле S = abc / 4R можно перепутать R с r и подставить радиус вписанной окружности. Обе величины являются радиусами, но определяются относительно разных окружностей. Проверьте, какая окружность указана в условии: описанная проходит через вершины, вписанная касается сторон. Для формулы с произведением трёх сторон нужен именно R — радиус описанной окружности.
Для работы с формулами площади полезны формула S = ah / 2, свойства синуса, теорема косинусов и теорема синусов. Первая формула связывает площадь с высотой, а тригонометрические теоремы помогают заменить неизвестные углы или высоты известными сторонами и радиусом. Поэтому перед вычислением стоит убедиться, что знакомые обозначения и зависимости понятны. Если задача содержит окружность, важно различать её центр, радиус и точки касания.
Формулы применяют в задачах на треугольники и окружности, при вычислении радиусов и при доказательстве геометрических соотношений. Иногда площадь сначала находят по сторонам, а затем используют её, чтобы определить радиус; иногда, наоборот, известный радиус помогает вычислить площадь. Выбор выражения позволяет связать данные задачи в одну цепочку. Это делает формулы площади инструментом не только для прямого вычисления.
Какую формулу площади выбрать, если известны две стороны и угол?
Используйте формулу S = ab sin C / 2, где a и b — известные стороны, а C — угол между ними. Проверьте, что дан именно заключённый между сторонами угол.
Почему в формуле через синус нужен именно угол между сторонами?
Высота к одной из сторон получается из другой стороны умножением на синус угла между ними. Поэтому формула выводится именно для угла, заключённого между известными сторонами; с другим углом высота будет выражена неверно.
Как найти площадь, если известны только три стороны?
Найдите полупериметр p = (a + b + c) / 2, затем подставьте его и стороны в формулу Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
Что обозначает p в формуле Герона?
Буквой p обозначают полупериметр — половину периметра треугольника. Его вычисляют как p = (a + b + c) / 2.
Чем отличаются радиусы r и R в формулах площади?
r — радиус вписанной окружности, то есть расстояние от её центра до стороны треугольника. R — радиус описанной окружности, проходящей через вершины треугольника.
92. Формулы площади треугольника
