"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Биссектриса угла треугольника делит его пополам и пересекает противоположную сторону. Теорема о биссектрисе показывает, как связаны получившиеся отрезки этой стороны с двумя сторонами треугольника: BD/DC = AB/AC. Благодаря этому соотношению можно находить неизвестные длины, если известны другие стороны или отрезки. Главное — правильно сопоставлять отрезки и стороны, а затем проверять, что их сумма равна длине всей противоположной стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биссектриса угла треугольника — луч, который выходит из вершины угла и делит его на две равные части. Например, если AD — биссектриса угла A треугольника ABC, то ∠BAD = ∠DAC. Это определение помогает отличить биссектрису от любой другой линии, проведённой из вершины к противоположной стороне.
Теорема о биссектрисе треугольника устанавливает соотношение между отрезками противоположной стороны и двумя сторонами, образующими угол. Если AD — биссектриса угла A и D лежит на стороне BC, то BD/DC = AB/AC. Теорема нужна, чтобы находить неизвестные длины через пропорцию, а не измерять их непосредственно.
Отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, записывают как BD/DC. В этом отношении первому отрезку соответствует сторона AB, а второму — AC, поэтому получается BD/DC = AB/AC. Такое соответствие важно сохранять при составлении уравнений: оно показывает, какие длины нужно сравнить.
Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса AD, а точка D лежит на BC. Тогда сторона BC разделена на BD и DC, причём BC = BD + DC. Одновременно ∠BAD = ∠DAC, потому что AD делит угол A пополам. Эти условия позволяют применить теорему; если отрезок из A не делит угол, получить нужное отношение нельзя.
Чтобы увидеть происхождение соотношения, проведём через C прямую, параллельную AD, и продолжим BA до пересечения с ней в точке E. Параллельность нужна потому, что она создаёт равные углы при пересечении прямых и позволяет получить подобные треугольники. В частности, треугольники BAD и BEC подобны: их стороны лежат на одних и тех же прямых, а AD параллельна CE. Поэтому отношения соответствующих сторон этих треугольников равны.
Однако одной этой пары треугольников недостаточно, чтобы без дополнительных рассуждений напрямую получить отношение BD/DC. Удобно завершить доказательство через площади: треугольники ABD и ACD имеют основания BD и DC на одной прямой BC. Их высота, опущенная из A на BC, общая, поэтому отношение площадей равно BD/DC. С другой стороны, площади можно выразить через две стороны и синус угла между ними: площадь ABD равна ½·AB·AD·sin∠BAD, а площадь ACD — ½·AC·AD·sin∠DAC.
Углы BAD и DAC равны, значит, в выражениях площадей совпадают множители AD и синус угла, и отношение площадей равно AB/AC. Приравнивая два выражения для этого отношения, получаем BD/DC = AB/AC. Так видно, почему каждому отрезку стороны BC соответствует прилежащая сторона, выходящая из той же вершины B или C.
Итог теоремы записывают именно так: BD относится к DC так же, как AB относится к AC. Теорему применяют к внутренней биссектрисе треугольника, чтобы находить отрезки противоположной стороны или неизвестную сторону по пропорции. Если известны AB, AC и BC, сначала составляют отношение AB:AC, а затем делят BC в этом отношении.
| Элемент | Обозначение | Соотношение |
|---|---|---|
| Биссектриса угла A | AD | ∠BAD = ∠DAC |
| Противоположная сторона | BC, D ∈ BC | BC = BD + DC |
| Отрезки стороны BC | BD и DC | BD/DC = AB/AC |
| Найти отрезки стороны по её длине | BC и AB/AC | Сначала разделить BC в отношении AB:AC |
Пользуйся таблицей так: сначала проверь, что AD действительно биссектриса, а D принадлежит BC. Затем сопоставь BD с AB, а DC с AC и составь пропорцию. Если находишь оба отрезка, дополнительно проверь, что их сумма равна BC.
Задача 1. В треугольнике ABC AD — биссектриса, AB = 6, AC = 9, BC = 10. Найдите BD и DC. Известные стороны задают отношение отрезков, а длина BC позволяет определить, сколько приходится на каждую часть.
Ответ: BD = 4, DC = 6. Разделение получилось в нужном отношении 2:3, и найденные отрезки составляют всю сторону BC.
Задача 2. В треугольнике ABC AD — биссектриса, BD = 4, DC = 6, AB = 8. Найдите AC. Здесь известны оба отрезка, поэтому их отношение сразу задаёт отношение сторон AB и AC.
Ответ: AC = 12. При составлении пропорции важно было поставить BD рядом с AB, а DC — рядом с AC.
Задача 3. В треугольнике ABC AD — биссектриса, AB = x + 1, AC = 2x − 1, BD = 6, DC = 9. Найдите x. Сначала составим уравнение по теореме, а затем проверим, подходят ли полученные значения сторон треугольника.
Ответ: x = 5. Подстановка проверяет не только уравнение, но и то, что найденные выражения дают допустимые длины.
Иногда записывают BD/DC = AB/BC, ошибочно принимая всю сторону BC за соответствующую часть. Это происходит, когда в формуле теряют точку D и не следят за тем, какие отрезки выходят из вершин B и C. Проверь, что BD сопоставлен с AB, а DC — с AC: именно так записывается пропорция.
Другая ошибка — считать, что BD или DC равен всей стороне BC. Но D делит BC на две части, поэтому BC = BD + DC. После вычислений сложи отрезки: если сумма не равна известной длине BC, значит, была допущена ошибка в вычислениях или в пропорции.
Не всякий отрезок из вершины к противоположной стороне является биссектрисой. Его могут принять за биссектрису только потому, что он проведён из вершины, хотя для теоремы необходимо равенство ∠BAD и ∠DAC. Перед применением формулы проверь условие задачи: угол должен быть разделён на две равные части.
Наконец, можно переставить части пропорции только согласованно. Если написать DC/BD, справа тоже нужно поменять порядок: AC/AB; иначе получится обратное отношение. Для самопроверки подставь известные числа в обе части и убедись, что равенства действительно совпадают.
Для работы с теоремой нужно знать, что такое биссектриса, уметь распознавать равные углы и составлять пропорции. Доказательство связывает отношения сторон с площадями треугольников, а вспомогательное построение параллельной прямой помогает увидеть подобие. Эти темы дают основания формуле, а не только способ запомнить её.
Теорема пригодится в задачах на отношения отрезков, поиск сторон и построение биссектрис. Она позволяет перейти от геометрического рисунка к уравнению, а затем проверить результат по длинам частей исходной стороны.
Как понять, какой отрезок ставить первым в пропорции?
Сначала выбери сторону в отношении: если первым записан отрезок BD, то ему соответствует сторона AB, обе исходят из вершины B. Поэтому BD/DC = AB/AC. Если поменять местами отрезки слева, нужно так же поменять местами стороны справа.
Почему отрезки BD и DC относятся как стороны AB и AC?
Биссектриса делит угол A на равные части, а отрезки BD и DC лежат напротив этих частей. Из подобия треугольников, получаемых вспомогательным построением, следует, что их отношение совпадает с отношением прилежащих сторон AB и AC.
Как найти оба отрезка, если известны только стороны треугольника?
Раздели длину BC в отношении AB:AC. Например, если AB:AC = 2:3, то BC состоит из пяти равных долей: две доли приходятся на BD, три — на DC. Для численного ответа нужна также длина BC.
Можно ли применить теорему, если проведённый отрезок не делит угол пополам?
Нет, теорема относится именно к биссектрисе внутреннего угла. Для произвольного отрезка из вершины равенство BD/DC = AB/AC не обязано выполняться.
Как проверить, что найденные отрезки подходят?
Проверь два условия: BD + DC должно равняться BC, а отношения BD/DC и AB/AC должны совпадать. Также все длины должны быть положительными.
91. Теорема о биссектрисе треугольника
