2.2. Теорема о биссектрисе треугольника

Определения и обозначения

Биссектриса угла треугольника — луч, исходящий из вершины и делящий угол на два равных угла. Например, если луч AD делит угол BAC, то ∠BAD = ∠DAC; обычно говорят, что AD — биссектриса угла A. Такое обозначение сразу показывает, какой угол делится и где проходит луч.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны. Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC, то D лежит на BC, а отрезок AD проведён внутри треугольника. Это определение отличает биссектрису треугольника от луча, который продолжается за пределы стороны.

Теорема о биссектрисе треугольника утверждает: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум сторонам, прилежащим к углу. Иными словами, длины частей BC зависят от длин AB и AC. Теорема нужна, чтобы находить неизвестную часть стороны или сторону треугольника, не измеряя их напрямую.

Как это устроено

Рассмотрим треугольник ABC и биссектрису AD угла A, пересекающую сторону BC в точке D. Тогда сторона BC состоит из двух отрезков: BD и DC, а стороны AB и AC прилежат к углу A. Именно эти четыре длины участвуют в теореме. Точка D находится между B и C, поэтому обе части стороны положительны и BD + DC = BC.

Теорема записывается так: BD/DC = AB/AC. Порядок в отношениях не случаен: части стороны сопоставляются с прилежащими сторонами, и BD соответствует AB, а DC — AC. Такое соответствие можно проверить по расположению треугольников ABD и ACD: первый содержит сторону AB, второй — AC. Если поменять местами только стороны в одной дроби, пропорция изменит смысл.

Чтобы увидеть, почему возникает это отношение, сравним площади треугольников ABD и ACD. Их основания BD и DC лежат на одной прямой BC, а высота, опущенная из A к этой прямой, у них общая. Поэтому отношение площадей равно отношению оснований: S_ABD/S_ACD = BD/DC. Общая высота позволяет сравнить площади, не зная её длины.

Те же площади можно выразить через две стороны и угол между ними: S_ABD = ½ AB · AD · sin ∠BAD, а S_ACD = ½ AC · AD · sin ∠DAC. Углы BAD и DAC равны, потому что AD — биссектриса; множители ½, AD и синусы в отношении сокращаются. Поэтому S_ABD/S_ACD = AB/AC. Сравнив два выражения для отношения площадей, получаем BD/DC = AB/AC.

Для вычислений сначала записывают пропорцию в нужном порядке, а затем подставляют известные длины. Если неизвестна часть BC, используют также сумму BD + DC = BC; если неизвестна сторона, решают полученное уравнение. После решения полезно проверить, что найденные отрезки положительны и в сумме дают BC, а каждой части соответствует верная сторона.

Теорема о биссектрисе треугольника: условие, пропорция и применение

Сначала проверьте условие: AD должна быть биссектрисой угла A, а D — точкой стороны BC. Затем сопоставьте отрезки по порядку и запишите пропорцию. Если известна вся сторона, добавьте равенство BD + DC = BC.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD, AB = 6, AC = 9, BC = 10. Найдите BD и DC. Нужно найти две части одной стороны, поэтому кроме отношения из теоремы используем их сумму. Отношение частей задаётся сторонами, прилежащими к углу A.

1. По теореме BD/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3. Значит, отрезки можно представить как 2k и 3k.
2. Так как BD + DC = BC, получаем 2k + 3k = 10, откуда k = 2.
3. Тогда BD = 2 · 2 = 4, а DC = 3 · 2 = 6. Проверка: 4 + 6 = 10.

Ответ: BD = 4, DC = 6.

Задача 2. Биссектриса AD делит сторону BC на отрезки BD = 4 и DC = 6. Если AB = 8, найдите AC. Здесь известны обе части стороны, поэтому их отношение сразу задаёт отношение прилежащих сторон. Неизвестная длина стоит в знаменателе пропорции, и её можно найти перекрёстным умножением.

1. Записываем теорему с правильным соответствием: BD/DC = AB/AC.
2. Подставляем данные: 4/6 = 8/AC. Перемножаем крест-накрест: 4AC = 6 · 8.
3. Делим обе части равенства на 4: AC = 48/4 = 12. Результат больше AB, что согласуется с тем, что DC больше BD.

Ответ: AC = 12.

Задача 3. Дано AB = 5, AC = 7, BC = 24, а биссектриса угла A пересекает BC в D. Найдите BD и DC, затем проверьте, лежит ли D внутри BC. Сначала используем отношение частей, но отдельно проверим, могут ли заданные длины вообще образовать треугольник. Такая проверка помогает отличить формальный расчёт по пропорции от геометрически возможной ситуации.

1. По теореме BD/DC = 5/7. Пусть BD = 5k, DC = 7k; тогда 12k = 24, значит k = 2.
2. Получаем BD = 10 и DC = 14. Оба отрезка положительны, а их сумма равна 24, поэтому при таких частях точка D оказалась бы внутри отрезка BC.
3. Однако стороны 5, 7 и 24 не образуют треугольник: сумма двух меньших сторон 5 + 7 = 12 меньше 24. Следовательно, такого треугольника и такой биссектрисы не существует; найденные части — только результат формального деления стороны в отношении 5:7.

Ответ: формально BD = 10 и DC = 14, но треугольник с заданными сторонами не существует.

Типичные ошибки

Ошибка: записывают BD/DC = AC/AB, переставляя прилежащие стороны. Так бывает, когда ориентируются на порядок букв в названии треугольника, а не на соответствие частей. Проверьте запись по паре треугольников: BD сопоставляется с AB, DC — с AC, поэтому верно BD/DC = AB/AC.

Ошибка: считают, что биссектриса всегда делит противоположную сторону пополам. Это происходит из-за смешения понятий «делит угол пополам» и «делит сторону пополам». Сравните прилежащие стороны: равные части получаются при AB = AC, а в общем случае нужно использовать пропорцию.

Ошибка: подставляют всю сторону BC вместо одного из отрезков. Причина — забывают, что биссектриса разделила BC точкой D на две части. Перед вычислениями подпишите BD и DC отдельно и проверьте, что их сумма равна BC.

Ошибка: применяют теорему к любому отрезку AD, проведённому к BC. Само пересечение со стороной не означает, что углы BAD и DAC равны. Убедитесь, что по условию AD — биссектриса угла A; без этого свойства пропорция теоремой не обоснована.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужны определение биссектрисы, обозначения сторон и углов, а также свойства пропорции. Доказательство связывает её с формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними и с правилом отношения площадей при общей высоте. В задачах теорема помогает находить отношения отрезков и элементы треугольника; она также встречается при изучении подобных треугольников, где важно сопоставлять соответствующие стороны.

Что запомнить

• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC, то D лежит на BC.
• BD/DC = AB/AC.
• Отрезку BD соответствует сторона AB, а отрезку DC — сторона AC.
• Если AB = AC, то BD = DC.
• При вычислениях учитывай, что BD + DC = BC.