2.1. Теорема о медиане

Определения и обозначения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Если медиана проведена из вершины A к стороне BC, обозначим её AM, а середину стороны — буквой M. Такое обозначение сразу показывает, какие стороны нужно учитывать в теореме: AB, AC и BC.

Середина отрезка — точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. Поэтому для медианы AM выполняется BM = CM, а длина каждой половины равна BC / 2. Это свойство нужно, чтобы заменить половину стороны BC известной длиной всей стороны.

Теорема о медиане — равенство, связывающее квадраты двух сторон треугольника, медианы к третьей стороне и половины этой стороны. Для медианы AM к BC оно записывается так: AB² + AC² = 2(AM² + BM²). Теорема помогает находить неизвестную длину, когда известны другие стороны и медиана, или когда известны три стороны.

Как это устроено

Чтобы вывести теорему, продолжим AM за точку M до точки D так, чтобы MD = AM. Получим, что M — середина и отрезка AD, и отрезка BC. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и делятся пополам, а значит, ABCD — параллелограмм. Такая конструкция удобна тем, что медиана становится частью его диагонали AD.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон. Диагонали здесь — AD и BC, причём AD = 2AM, а BC = 2BM. Противоположные стороны равны: две стороны имеют длину AB, а две другие — AC. Поэтому равенство для параллелограмма принимает вид (2AM)² + BC² = 2AB² + 2AC².

Подставляя BC = 2BM, получаем 4AM² + 4BM² = 2AB² + 2AC². Делим обе части на 2 и переставляем слагаемые: AB² + AC² = 2(AM² + BM²). Так получается теорема о медиане. Квадраты возникают из свойства диагоналей параллелограмма, поэтому длины сторон нельзя просто складывать без возведения в квадрат.

Из теоремы можно выразить квадрат медианы: AM² = (AB² + AC²) / 2 − BM². Поскольку BM = BC / 2, после приведения к общему знаменателю получаем AM² = (2AB² + 2AC² − BC²) / 4. Чтобы найти саму длину AM, нужно извлечь квадратный корень из правой части и взять положительное значение.

В формуле участвуют все три стороны: AB и AC — стороны, сходящиеся в вершине, из которой проведена медиана, а BC — сторона, которую она делит пополам. Поэтому нельзя подменять BC другой стороной или считать, что формула сразу даёт любую медиану. Для другой медианы нужно заново указать, к какой стороне она проведена, и соответствующим образом изменить обозначения.

Теорема о медиане и её следствия

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую условию задачи: медиана к BC или половина BC. Если требуется длина медианы, используйте формулу для AM², а затем извлеките положительный корень. При поиске стороны подставьте известные значения в теорему и выразите неизвестную величину.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC медиана AM проведена к стороне BC. Даны AB = 5, AC = 7, BC = 6. Найдите AM.

1. Так как AM проведена к BC, применяем формулу AM² = (2AB² + 2AC² − BC²) / 4.
2. Подставляем длины: AM² = (2 · 5² + 2 · 7² − 6²) / 4 = (50 + 98 − 36) / 4 = 28.
3. Длина отрезка положительна, поэтому AM = √28 = 2√7.

Ответ: 2√7.

Задача 2. Две стороны треугольника равны 13 и 15, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 10. Найдите третью сторону.

1. Обозначим третью сторону через x. Теорема даёт 13² + 15² = 2(10² + (x / 2)²), так как медиана делит эту сторону пополам.
2. Вычисляем: 169 + 225 = 2(100 + x² / 4), откуда 394 = 200 + x² / 2.
3. Тогда x² / 2 = 194, x² = 388. Берём положительное значение: x = √388 = 2√97.
4. Проверяем возможность такого треугольника: 13 + 15 больше 2√97, а сумма любой пары сторон больше третьей.

Ответ: 2√97.

Задача 3. Для медианы AM к BC известно, что AB² + AC² = 2(AM² + BM²). Выразите AM через стороны и найдите его при AB = 10, AC = 13, BC = 14.

1. Из BM = BC / 2 следует BM² = BC² / 4. Подставляем это в равенство и выражаем квадрат медианы: AM² = (AB² + AC²) / 2 − BC² / 4.
2. Приводим к знаменателю 4: AM² = (2AB² + 2AC² − BC²) / 4. Значит, AM = √(2AB² + 2AC² − BC²) / 2.
3. Подставляем данные: AM² = (2 · 100 + 2 · 169 − 196) / 4 = 342 / 4 = 171 / 2.
4. Поэтому AM = √(171 / 2) = 3√38 / 2. Подстановка этого значения в исходное равенство подтверждает результат.

Ответ: AM = √(2AB² + 2AC² − BC²) / 2; при заданных длинах AM = 3√38 / 2.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить половину не той стороны. Если AM — медиана к BC, то пополам делится только BC: BM = CM = BC / 2. Так бывает, когда ученик ориентируется на букву вершины или автоматически делит пополам одну из сторон AB и AC. Перед вычислением выпишите, к какой стороне проведена медиана, и сверьте её с обозначением BM.

Вторая ошибка — заменить сумму квадратов суммой длин: написать AB + AC вместо AB² + AC². Это происходит, если не заметить, что теорема связывает именно квадраты величин. Проверяйте каждый член формулы до подстановки: сначала возведите каждую длину в квадрат, а уже потом выполняйте сложение и вычитание.

Третья ошибка — неверно раскрыть множитель 2 или разделить только часть выражения при выводе формулы AM². В результате в числителе может потеряться слагаемое или появиться неправильный знаменатель. Для самопроверки начните с AB² + AC² = 2AM² + BC² / 2 и умножьте обе части на 2: должно получиться 2AB² + 2AC² = 4AM² + BC².

Четвёртая ошибка — оставить ответ в виде AM² или взять отрицательный корень. Квадрат длины — промежуточный результат, а длина отрезка положительна. Если задача просит найти AM, извлеките корень и запишите положительное значение; затем при желании возведите ответ в квадрат для проверки.

Связь с другими темами

Для применения теоремы нужно знать определение медианы и понимать, что она делит противоположную сторону пополам. Её вывод опирается на свойство параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Сама теорема пригодится в задачах на стороны и медианы треугольника. Позднее аналогичные соотношения удобно исследовать с помощью векторов и координатного метода.

Что запомнить

• Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Если AM — медиана к BC, то BM = CM = BC / 2.
• AB² + AC² = 2(AM² + BM²).
• AM² = (2AB² + 2AC² − BC²) / 4.
• В формуле медианы учитывают все три стороны треугольника.
• Длина медианы — положительный квадратный корень из её квадрата.