"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Теорема о медиане позволяет найти её длину, если известны стороны треугольника, или восстановить неизвестную сторону по медиане и двум другим сторонам. В основе формулы — свойство диагоналей параллелограмма. Главное — правильно определить сторону, к которой проведена медиана, и подставлять в формулу квадраты длин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Поэтому медиана делит эту сторону на два равных отрезка. Например, если AM — медиана треугольника ABC, то точка M лежит на BC и BM = MC. Это определение помогает отличить медиану от других отрезков, проведённых из вершины.
В треугольнике ABC будем обозначать стороны так: AB = c, AC = b, BC = a. Медиану, проведённую из вершины A к стороне BC, обозначим m_a. Индекс a напоминает, к какой стороне ведёт медиана, а не указывает её длину. Такие обозначения позволяют компактно записать формулу и не перепутать стороны.
Теорема о медиане связывает квадрат медианы с квадратами трёх сторон треугольника. Для медианы m_a она записывается так: m_a² = (b² + c²)/2 − a²/4. Формула нужна, чтобы по известным сторонам найти медиану или, наоборот, определить неизвестную сторону. В ней участвуют именно квадраты длин, а не сами длины.
Рассмотрим треугольник ABC и его медиану AM. Продлим AM за точку M до точки D так, чтобы MD = AM. Так как BM = MC, точка M является серединой BC; по построению она также середина AD. Это построение удобно, потому что две прямые AD и BC теперь пересекаются и делятся в точке M пополам.
Четырёхугольник ABDC — параллелограмм. У него диагонали AD и BC пересекаются в M и делятся этой точкой пополам, а это признак параллелограмма. В таком порядке вершин стороны AB и CD противоположны, поэтому CD = AB; другая пара противоположных сторон — BD и AC. Параллелограмм появляется не случайно: его свойства позволяют связать медиану с длинами сторон исходного треугольника.
Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов двух соседних сторон. Здесь диагонали — AD и BC, а соседние стороны можно взять AB и AC, поэтому AD² + BC² = 2(AB² + AC²). Поскольку AD = 2AM, а BC = 2BM, равенство можно переписать как 4AM² + 4BM² = 2(AB² + AC²). Использование именно диагоналей важно: длины медианы и половины BC входят в них в удвоенном виде.
Разделим равенство на 2 и перенесём слагаемое с BM: AB² + AC² = 2AM² + 2BM². Так как BM = BC/2, получаем 2BM² = BC²/2, следовательно, AB² + AC² = 2AM² + BC²/2. Из равенства выражаем AM² и получаем связь квадратов сторон с квадратом медианы.
Теперь подставим обозначения AB = c, AC = b, BC = a и AM = m_a. После деления на 2 имеем m_a² = (b² + c²)/2 − a²/4. Для медиан из B и C рассуждение такое же, только вершины и стороны меняются местами. Значит, теорема применима к медиане, проведённой из любой вершины.
В таблице приведены формулы для каждой из трёх медиан. Индекс медианы совпадает с обозначением стороны, к которой она проведена. Подставляй в выбранную строку длины двух сторон, прилегающих к вершине медианы, и противоположной стороны.
| Медиана | Сторона, к которой проведена | Формула |
|---|---|---|
| m_a | a | m_a² = (b² + c²)/2 − a²/4 |
| m_b | b | m_b² = (a² + c²)/2 − b²/4 |
| m_c | c | m_c² = (a² + b²)/2 − c²/4 |
Задача 1. В треугольнике стороны, прилегающие к вершине A, равны 5 и 7, а противоположная сторона равна 6. Найдите медиану из A. Сначала определим, что сторона BC равна 6 и именно к ней проведена искомая медиана. Затем применим формулу для m_a.
Ответ: 2√7.
Задача 2. Медиана из вершины A равна 5, стороны AB и AC равны 6 и 8. Найдите BC. Неизвестная сторона противоположна медиане, поэтому обозначим BC = a и используем формулу для m_a. Сначала найдём a², а затем проверим, что найденная длина возможна для треугольника с двумя другими сторонами.
Ответ: BC = 10.
Задача 3. В треугольнике ABC медиана AM равна 7, AB = 9, AC = 11. Найдите BC и проверьте, может ли полученное значение быть стороной такого треугольника. По теореме можно выразить квадрат BC; затем нужно извлечь корень и проверить три неравенства треугольника. Проверка нужна, потому что уравнение для квадратов само по себе не гарантирует существование треугольника.
Ответ: BC = 4√13; полученное значение может быть стороной такого треугольника.
Первая ошибка — подставлять длины сторон вместо их квадратов. Её часто допускают, когда воспринимают формулу как обычное сложение длин, но теорема связывает именно квадраты. Проверь себя: каждое обозначение стороны или медианы в формуле должно иметь степень 2.
Вторая ошибка — путать сторону, к которой проведена медиана, со сторонами, прилегающими к её вершине. Например, m_a проведена к a, а b и c — стороны, прилегающие к вершине A. Чтобы проверить подстановку, назови вершину медианы и отдельно определи противоположную ей сторону.
Третья ошибка — считать, что медиана делит пополам прилегающие стороны. Такое представление возникает из-за слов «делит пополам», но пополам делится только сторона напротив вершины. Проверь условие медианы: её конец должен быть серединой именно противоположной стороны.
Четвёртая ошибка — забывать, что половина противоположной стороны равна a/2 и при возведении в квадрат даёт a²/4. Ошибка появляется, если оставить a/2 без квадрата или записать вместо четверти половину квадрата. Проверь вычисление отдельно: (a/2)² = a²/4.
Для вывода теоремы нужно знать определение медианы и свойства параллелограмма, в частности признак по диагоналям, которые делятся пополам, и теорему о сумме квадратов диагоналей. Поэтому полезно уверенно работать с квадратами длин и выражать неизвестную величину из равенства. Сама формула помогает находить медианы и стороны треугольника, а также встречается в задачах на расстояния и при векторном методе. Это пример того, как свойства одной фигуры помогают решать задачу о другой.
Как понять, к какой стороне проведена медиана m_a?
Индекс a указывает на сторону a, то есть на сторону, к которой проведена медиана. В треугольнике ABC это сторона BC, а медиана из вершины A соединяет A с серединой BC.
Почему в формуле появляется четверть квадрата противоположной стороны?
Медиана делит противоположную сторону пополам, поэтому половина этой стороны равна a/2. При применении свойства параллелограмма длина половины стороны возводится в квадрат: (a/2)² = a²/4.
Можно ли найти сторону треугольника, если известны две другие стороны и медиана?
Да. Подставьте известные длины в теорему и выразите квадрат неизвестной стороны. Затем извлеките квадратный корень и проверьте, что найденные длины удовлетворяют неравенствам треугольника.
Верна ли теорема о медиане для любого треугольника?
Да, теорема верна для любого треугольника: она не зависит от того, остроугольный он, прямоугольный или тупоугольный. Формула получается из свойства параллелограмма, которое применимо во всех этих случаях.
Чем теорема о медиане отличается от теоремы Пифагора?
Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника, а теорема о медиане — медиану и три стороны любого треугольника. Поэтому для её применения не требуется прямой угол.
90. Теорема о медиане
