93. Формула Герона

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник. Формула Герона позволяет вычислить её по длинам трёх сторон, даже если высота и углы неизвестны. Площадь обозначают буквой S и выражают в квадратных единицах. Например, если стороны измерены в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах.

Полупериметр треугольника — половина его периметра; обычно его обозначают буквой p. Если стороны равны a, b и c, то p = (a + b + c)/2. Это обозначение удобно, потому что с его помощью формула Герона записывается коротко. Для подстановки сначала складывают стороны и делят сумму на два.

Формула Герона — равенство, выражающее площадь треугольника через его стороны и полупериметр: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Под корнем стоит произведение четырёх величин, поэтому важно подставлять все стороны и полупериметр. Формула особенно полезна, когда известны только три стороны. Она избавляет от необходимости отдельно находить угол или высоту.

Неравенство треугольника — условие, по которому сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей. Оно нужно, чтобы проверить, существует ли треугольник с заданными сторонами. Для положительных длин достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше наибольшей. Если условие нарушено, формулу Герона применять нельзя.

Как это устроено

Площадь можно выразить через две стороны и угол между ними: S = ½ab sin C. Здесь a и b — две стороны, а C — угол между ними. Такая запись удобна, но для формулы Герона угол сначала нужно исключить, потому что в условии известны только стороны. Значит, требуется восстановить синус угла C по длинам a, b и c.

Для этого используют теорему косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos C. Перенося слагаемые и деля на 2ab, получаем cos C = (a² + b² − c²)/(2ab). Затем применяем тождество sin² C = 1 − cos² C. Поскольку угол треугольника лежит между 0° и 180°, его синус положителен, поэтому для площади берут положительный корень.

Подставив найденный синус в выражение S = ½ab sin C и возведя обе части в квадрат, можно избавиться от корня с синусом. После раскрытия скобок и упрощения получается 16S² = (a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c). Именно это преобразование связывает площадь напрямую с четырьмя выражениями, составленными из сторон. Каждое из них положительно, если стороны действительно образуют треугольник.

Теперь вводят полупериметр p = (a + b + c)/2. Тогда a + b + c = 2p, а, например, −a + b + c = 2(p − a); аналогично преобразуются два оставшихся множителя. После подстановки множители 2 сокращаются с коэффициентом 16, и получается S² = p(p − a)(p − b)(p − c). Извлекая квадратный корень, получаем формулу Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).

Формула применима, если длины положительны и удовлетворяют неравенству треугольника. При таких сторонах p больше каждой из величин a, b и c, поэтому все разности p − a, p − b и p − c положительны. Под корнем находится положительное произведение, а сама площадь также положительна. Если условие на стороны не выполнено, полученное вычисление не описывает площадь треугольника.

Формула Герона: обозначения и применение

Пользуйтесь таблицей как порядком действий: обозначьте стороны, проверьте условие существования треугольника и вычислите p. Затем подставьте значения в формулу Герона, не меняя порядок разностей. В ответе укажите квадратные, а не линейные единицы измерения.

Разбор задач

Задача 1. Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 5 и 6. Здесь две стороны равны, но для применения формулы Герона это не играет особой роли: используются все три длины. Сначала найдём полупериметр, затем вычислим каждую разность с ним. После подстановки останется упростить квадратный корень.

1. Найдём полупериметр: p = (5 + 5 + 6)/2 = 8.
2. Подставим стороны: S = √(8 · (8 − 5) · (8 − 5) · (8 − 6)) = √(8 · 3 · 3 · 2).
3. Перемножим числа под корнем: S = √144 = 12.

Ответ: 12 квадратных единиц. Проверка неравенства треугольника проходит: сумма двух меньших сторон равна 10, а это больше 6. Равные стороны подставляются в два соответствующих множителя отдельно.

Задача 2. Найдите площадь треугольника со сторонами 7, 8 и 9. Здесь полупериметр и все три разности будут разными, поэтому полезно вычислить их по отдельности. Такой порядок снижает риск перепутать сторону в выражении p − a. В конце можно проверить вычисления, сравнив произведение под корнем с полным квадратом.

1. Вычислим полупериметр: p = (7 + 8 + 9)/2 = 12.
2. Найдём разности: p − 7 = 5, p − 8 = 4, p − 9 = 3.
3. Применим формулу: S = √(12 · 5 · 4 · 3) = √720 = 12√5.

Ответ: 12√5 квадратных единиц. Проверка: 12² · 5 = 720, значит упрощение корня выполнено верно. Условие существования также соблюдается, поскольку 7 + 8 больше 9.

Задача 3. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите площадь и высоту, проведённую к стороне 14. Сначала формула Герона даст площадь, а затем её можно связать с основанием 14 и искомой высотой. Так мы используем формулу Герона для площади, а обычную формулу площади — для высоты.

1. Найдём полупериметр: p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
2. Подставим разности: S = √(21 · (21 − 13) · (21 − 14) · (21 − 15)) = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
3. Запишем S = ½ · 14 · h. Тогда 84 = 7h, откуда h = 12.

Ответ: площадь равна 84 квадратным единицам, высота к стороне 14 равна 12 единицам. Проверка: ½ · 14 · 12 = 84, то есть полученная высота возвращает найденную площадь. Высота измеряется в тех же единицах, что и стороны.

Типичные ошибки

Периметр иногда подставляют вместо полупериметра. Так происходит, когда забывают, что p = (a + b + c)/2, и сразу переносят сумму сторон в формулу. Проверка проста: пересчитайте p отдельно до подстановки и убедитесь, что он вдвое меньше периметра. Если взята вся сумма, разности с длинами сторон и итоговая площадь будут неверными.

В множителе p − a могут поменять порядок и записать a − p. Тогда при допустимом треугольнике получится отрицательное число, хотя все множители в формуле Герона должны быть положительными. Ошибку допускают из-за привычки вычитать меньшее число из большего или невнимательности к записи. Сверьте каждый множитель с формулой: сначала полупериметр, затем знак минус, затем сторона.

Формулу применяют к трём положительным числам, не проверяя неравенство треугольника. Но положительные числа сами по себе не обязательно являются сторонами треугольника. Сложите две меньшие длины и сравните результат с наибольшей: сумма должна быть строго больше. Если проверка не пройдена, исправьте условие или остановите решение, а не интерпретируйте результат как площадь.

Ещё две ошибки — забыть извлечь квадратный корень из всего произведения и записать площадь в обычных единицах длины. Это случается, когда вычисления под корнем принимают за окончательный ответ или теряют размерность. Проверьте, что корень охватывает все четыре множителя, а затем возведите полученную площадь в квадратные единицы. Например, при сторонах в сантиметрах ответ выражается в см².

Связь с другими темами

Для вывода формулы Герона нужны формула площади через две стороны и угол между ними S = ½ab sin C и теорема косинусов. Первая формула связывает площадь с синусом угла, а теорема косинусов позволяет выразить косинус через три стороны; равенство sin² C = 1 − cos² C помогает убрать угол. Поэтому полезно уверенно преобразовывать алгебраические выражения и извлекать квадратные корни.

Формула пригодится, когда в задаче известны только три стороны треугольника, а также при вычислении площади многоугольника, разбитого на треугольники. Для многоугольника находят площади частей по их сторонам, а затем складывают результаты. Это позволяет решать задачи о площади без непосредственного измерения высот или углов.

Что запомнить

• Полупериметр p = (a + b + c)/2.
• Формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)).
• В формуле используются длины всех трёх сторон и полупериметр.
• Сначала проверьте, что заданные длины могут быть сторонами треугольника.
• Площадь выражается в квадратных единицах.
• Формула позволяет найти площадь без углов и высот.