"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Формула Герона позволяет найти площадь треугольника, если известны длины всех трёх сторон, но неизвестны углы и высоты. Для вычисления сначала находят полупериметр — половину суммы сторон, а затем подставляют его и длины сторон в формулу S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Главное — проверить, что стороны действительно образуют треугольник, и использовать одинаковые единицы длины.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Полупериметр треугольника — половина его периметра, то есть половина суммы длин сторон. Если стороны равны a, b и c, то p = (a + b + c) / 2. Полупериметр нужен в формуле Герона: через него удобно записать множители, связанные сразу со всеми сторонами.
Формула Герона — способ вычислить площадь треугольника по длинам трёх его сторон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Здесь S — площадь, а p — полупериметр. Формула полезна, когда стороны известны, но нельзя сразу воспользоваться формулой площади через основание и высоту или через две стороны и угол.
Условие применения формулы Герона — известны длины всех трёх сторон, и эти длины образуют существующий треугольник. Для этого сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Проверка нужна до вычисления: если условие нарушено, заданной фигуры не существует и её площадь найти нельзя.
Формула связывает площадь не с отдельной стороной или углом, а сразу со всеми тремя сторонами и их полусуммой. Поэтому она особенно удобна, когда в задаче даны только длины сторон. Каждый множитель под корнем неотрицателен для существующего треугольника: полупериметр больше длины любой одной стороны.
Вывод можно начать с формулы площади через две стороны и синус угла между ними: S = ½ab sin C. Чтобы убрать угол C, возьмём теорему косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos C, откуда cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Затем используем sin² C = 1 − cos² C и возведём формулу площади в квадрат, чтобы избавиться от корня и синуса.
После подстановки выражения для cos C и упрощения получаем 16S² = 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² − a⁴ − b⁴ − c⁴. Это же выражение раскладывается на множители: 16S² = (a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c). Каждый множитель получается из суммы сторон и одной из разностей между суммой двух сторон и третьей.
Если обозначить половину суммы сторон буквой p, то a + b + c = 2p. Например, −a + b + c = 2(p − a), а два остальных множителя записываются как 2(p − b) и 2(p − c). После подстановки произведение четырёх двоек сокращается с числом 16 в левой части; остаётся S² = p(p − a)(p − b)(p − c), а извлечение корня даёт формулу Герона.
Вычисления выполняют по порядку: сначала проверяют существование треугольника, затем находят полупериметр и разности между ним и каждой стороной. Все длины подставляют в одинаковых единицах, потому что в формуле они перемножаются. В результате под корнем получается величина в четвёртых степенях длины, а после извлечения корня площадь выражается в квадратных единицах.
| Величина или запись | Обозначение | Как определить или использовать |
|---|---|---|
| Длины сторон треугольника | a, b, c | Известные длины; проверить неравенство треугольника |
| Полупериметр | p | p = (a + b + c) / 2 |
| Разности полупериметра и сторон | p − a, p − b, p − c | Вычесть каждую сторону из полупериметра |
| Площадь треугольника по формуле Герона | S | S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) |
Начните с записи трёх сторон и проверьте, что из них можно составить треугольник. Затем найдите p и отдельно вычислите три разности, чтобы не пропустить множитель. Последней подставляйте всю последовательность в формулу площади.
Найдём площадь треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Сначала проверим существование: сумма двух меньших сторон равна 7 см, это больше 5 см. Значит, можно применить формулу Герона.
Ответ: 6 см². Здесь под корнем получилось точное квадратное число, поэтому площадь вычисляется без округления.
Найдём площадь треугольника со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Две равные стороны не меняют порядок применения формулы, но удобно проверить, что расчёты для них совпадают. Сумма двух сторон по 5 см больше 6 см, следовательно, треугольник существует.
Ответ: 12 см². Два множителя равны, потому что две стороны равны; пропуск одного из них изменил бы результат.
Сначала найдём площадь треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см, а затем — высоту к стороне 14 см. Проверка существования проходит: сумма двух меньших сторон равна 27 см и больше 15 см. Для высоты после вычисления площади используем S = ah / 2, где a — сторона, к которой проведена высота h.
Ответ: площадь равна 84 см², высота к стороне 14 см равна 12 см. Сначала была найдена площадь по трём сторонам, и только затем использована формула с основанием и высотой.
В формулу подставляют периметр вместо полупериметра. Это происходит, когда забывают, что p — половина суммы сторон, и обозначение принимают за обычный периметр. Проверьте первую запись: перед подстановкой должно быть p = (a + b + c) / 2.
Иногда пропускают множитель или вместо p − a, p − b, p − c вычитают одну сторону из другой. Так бывает, если торопиться и не выписать разности отдельно. Сверьте выражение под корнем: там должны стоять четыре множителя — p и три разности полупериметра со сторонами.
Ещё одна ошибка — начинать вычисления, не проверив, образуют ли длины треугольник. Если сумма двух меньших сторон не больше самой большой, треугольника нет, а формула не даст подходящую площадь. Перед подстановкой сравните сумму каждой пары с оставшейся стороной; достаточно проверить, что сумма двух меньших больше наибольшей.
Смешение единиц и запись площади в линейных единицах приводят к неверному ответу даже при правильных вычислениях. Например, нельзя без перевода подставлять одни стороны в сантиметрах, а другие в метрах; сантиметры в ответе также не заменяют см². Приведите все стороны к одной единице и проверьте, что единица площади возведена в квадрат.
Для применения формулы полезно знать два способа находить площадь: через сторону и проведённую к ней высоту, S = ah / 2, и через две стороны с синусом угла между ними, S = ½ab sin C. Второй способ становится отправной точкой вывода формулы Герона. Он показывает, как перейти от площади с углом к выражению только через стороны.
В выводе также нужны теорема косинусов и преобразование алгебраических выражений. Теорема косинусов позволяет выразить косинус угла через стороны, а затем этот угол исключается из формулы площади. После этого задача сводится к вычислению произведения и квадратного корня.
Формула Герона пригодится, когда в условии даны три стороны, но не указаны высота и угол. Если площадь найдена, её можно использовать дальше, например, чтобы вычислить высоту к выбранной стороне. Поэтому формула связывает задачи на стороны с задачами на площадь и высоту.
Зачем в формуле Герона нужен полупериметр?
Полупериметр p = (a + b + c) / 2 помогает выразить площадь через стороны без углов и высот. С ним формула записывается как произведение p и разностей p − a, p − b, p − c.
Можно ли найти площадь по трём сторонам, не зная углов?
Да, для этого и используют формулу Герона. Нужно знать длины всех трёх сторон и убедиться, что они образуют треугольник.
Как проверить, существует ли треугольник с заданными сторонами?
Сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей. Достаточно сравнить сумму двух меньших сторон с самой большой.
Что делать, если под корнем получается отрицательное число?
Проверьте, правильно ли найден полупериметр и верно ли вычислены разности p − a, p − b, p − c. Если стороны не удовлетворяют неравенству треугольника, такого треугольника не существует.
В каких единицах записывать ответ?
Длины сторон должны быть в одинаковых единицах. Площадь записывают в квадратных единицах: например, если стороны даны в сантиметрах, площадь будет в см².
108. Формула Герона
