"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Окружность — замкнутая линия, а круг — область внутри неё. Их основные характеристики выражаются через радиус и число π: длина окружности равна 2πr, площадь круга — πr². Эти формулы помогают находить путь, который проходит колесо за обороты, вычислять длину дуги и площадь сектора. Понимание того, как меняются длина и площадь при изменении радиуса, помогает проверять ответы и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Длина этой линии называется длиной окружности и обозначается C. Она показывает, какое расстояние нужно пройти по самой окружности, чтобы вернуться в исходную точку.
Число π — отношение длины любой окружности к её диаметру: C/d = π. Это отношение одинаково для окружностей любого размера, поэтому π служит постоянным числом в формулах. Для приближённых вычислений часто берут π ≈ 3,14.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе со всеми точками внутри неё. Площадь круга показывает, сколько места занимает эта область, и обозначается S. Она измеряется в квадратных единицах, например в см² или м².
Радиус r — отрезок от центра окружности до любой её точки, а диаметр d проходит через центр и соединяет две точки окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, поэтому d = 2r. Это равенство позволяет выбрать удобный вид формулы для длины окружности, а радиус нужен для вычисления площади круга.
Если измерить длину и диаметр нескольких окружностей, например обода чашки и большой тарелки, и разделить каждую длину на соответствующий диаметр, получатся близкие результаты. Небольшие отличия возникают из-за неточности измерений. При более точных измерениях отношение C/d стремится к одному и тому же числу π, потому что все окружности подобны: увеличение диаметра во столько же раз увеличивает и длину.
Из определения π = C/d следует, что C = πd: достаточно умножить диаметр на отношение длины к диаметру. Если известен радиус, вместо диаметра подставляют d = 2r и получают C = π · 2r = 2πr. Обе записи описывают одну зависимость, поэтому выбирай ту, для которой в условии уже дан размер.
Формула площади круга — S = πr². Квадрат радиуса появляется потому, что площадь измеряет двумерную величину: если увеличить каждую сторону фигуры в k раз, её площадь возрастёт в k² раз. Коэффициент π учитывает круглую форму области, а r² — масштаб круга; подставлять в эту формулу диаметр вместо радиуса нельзя.
При увеличении радиуса в k раз длина окружности становится в k раз больше, ведь в формуле C = 2πr радиус стоит в первой степени. Площадь возрастает в k² раз, поскольку S = πr². Например, если радиус увеличить в 3 раза, окружность станет длиннее втрое, а площадь круга — в 9 раз больше.
Дуга — часть окружности, а сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Центральный угол α составляет долю α/360° от полного угла, поэтому такую же долю полной длины окружности составляет дуга. Та же доля от площади круга даёт площадь сектора: это работает, потому что угол показывает, какую часть полного оборота занимает сектор.
| Величина или зависимость | Формула | Что обозначают буквы | Единицы измерения |
|---|---|---|---|
| Длина окружности через диаметр | C = πd | C — длина, d — диаметр, π — число пи | Единицы длины: см, м |
| Длина окружности через радиус | C = 2πr | C — длина, r — радиус | Единицы длины: см, м |
| Площадь круга | S = πr² | S — площадь, r — радиус | Квадратные единицы: см², м² |
| Длина дуги при центральном угле α | l = (α/360°) · 2πr | l — длина дуги, α — угол, r — радиус | Единицы длины: см, м |
| Площадь сектора при центральном угле α | Sс = (α/360°) · πr² | Sс — площадь сектора, α — угол, r — радиус | Квадратные единицы: см², м² |
Сначала определи, какая величина дана и что требуется найти, затем выбери подходящую формулу. Для дуги и сектора найди долю α/360°: угол 360° соответствует всей окружности или всему кругу. Проверь, чтобы единицы ответа совпадали с искомой величиной: длину записывают в линейных, площадь — в квадратных единицах.
Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см.
Ответ: радиус 9 см, площадь круга 81π см².
Ответ: 84π м, или приблизительно 263,76 м.
В формулу S = πr² иногда подставляют диаметр, потому что он тоже задаёт размер круга. Но площадь выражена через радиус: если дан диаметр, сначала найди r = d/2. Проверь себя: в формуле площади буква r должна обозначать расстояние от центра до окружности.
Формулы C = 2πr и S = πr² легко спутать из-за одинаковых π и r. Однако длина зависит от радиуса в первой степени, а площадь — во второй, поэтому ответы имеют разные единицы. Проверяй не только подстановку, но и то, должна ли искомая величина измеряться в сантиметрах или сантиметрах квадратных.
Число 3,14 — приближение для π, а не его точное значение. Его используют, когда нужен десятичный результат; точный ответ лучше оставить с π, например 10π. Чтобы не накапливать округление, сначала вычисли выражение с π, а заменяй его числом только на последнем шаге.
Если забыть возвести радиус в квадрат, площадь получится неверной; если перевести см² в м, перепутаются единицы разных типов. В формуле площади отдельно проверь показатель степени у r, а при переводе помни: 1 м = 100 см, но 1 м² = 10 000 см². Размерность ответа помогает обнаружить такую ошибку.
Для работы с окружностью нужно различать радиус и диаметр, находить центральный угол и понимать отношения величин. Также пригодятся формулы площади прямоугольника и треугольника: они помогают разобраться, почему площадь зависит от двух линейных размеров. Навык работать с отношениями позволяет понять, какую долю окружности занимает дуга.
Формулы длины окружности и площади круга применяются дальше при вычислении длины дуги и площади сектора. Они помогают решать задачи о вращении: например, путь колеса за несколько оборотов находится умножением длины окружности на число оборотов. Те же зависимости полезны в измерениях круглых предметов и при переводе единиц.
Почему отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех окружностей?
Любые две окружности подобны: одна получается из другой увеличением или уменьшением в одинаковое число раз. Длина и диаметр при этом изменяются в одинаковое число раз, поэтому их отношение остаётся постоянным и равно π.
Когда в формуле длины окружности использовать диаметр, а когда радиус?
Если известен диаметр, используй C = πd. Если дан радиус, удобнее взять C = 2πr, поскольку d = 2r. Обе формулы дают один и тот же результат.
Почему в формуле площади круга радиус нужно возводить в квадрат?
Площадь измеряет размер двумерной области, поэтому при увеличении всех линейных размеров в k раз она возрастает в k² раз. В формуле S = πr² это изменение учитывает квадрат радиуса.
Как понять, когда в ответе оставить π, а когда заменить его числом 3,14?
Если просят точный ответ, оставляй π: например, 10π см. Если требуется приближённое значение или число, округлённое до определённого разряда, подставь π ≈ 3,14 и выполни вычисления.
Как найти радиус круга, если известны его длина окружности или площадь?
По длине окружности вырази радиус из C = 2πr: r = C/(2π). Если известна площадь, используй S = πr² и получи r = √(S/π).
§23. Длина окружности и площадь круга
