"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Окружность и круг встречаются в задачах о колёсах, площадках, тарелках и других круглых предметах. Чтобы измерить границу круга, находят длину окружности, а чтобы оценить занимаемую им часть плоскости — площадь круга. Для вычислений нужны радиус или диаметр и число π. Главное — различать длину и площадь, правильно выбирать формулу и записывать ответ в подходящих единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это расстояние называют радиусом и обозначают R. Радиус помогает задать размер окружности и связывает её с диаметром: диаметр вдвое больше радиуса.
Длина окружности — это длина замкнутой линии, которая образует окружность. Её обозначают буквой C. По смыслу это расстояние вдоль границы: например, длина обода колеса показывает, какой путь проходит точка обода за один полный оборот.
Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть сама граница вместе с точками внутри неё. Радиус круга равен радиусу его границы и также обозначается R. Различать круг и окружность полезно, когда нужно понять, измеряем ли мы только контур или всю внутреннюю область.
Площадь круга — величина части плоскости, ограниченной окружностью. Её обозначают буквой S. Площадь показывает, сколько места занимает круг, поэтому она нужна, например, чтобы оценить количество материала для круглой площадки.
Возьмём окружности разных размеров и сравним их длины с диаметрами. У большой окружности и длина, и диаметр больше, но отношение C/d остаётся одинаковым: при увеличении диаметра длина растёт в той же пропорции. Это постоянное отношение обозначают греческой буквой π; его приближённое значение — 3,14.
Из равенства C/d = π следует, что длину можно найти, умножив диаметр на π: C = πd. Если вместо диаметра известен радиус, используем d = 2R и получаем C = 2πR. Выбор одной из этих формул зависит от того, какая величина дана в условии, а результатом будет длина.
Чтобы понять формулу площади, представим круг разрезанным на множество узких секторов — частей, похожих на кусочки пирога. Если чередовать их вершинами вверх и вниз, получится фигура, похожая на прямоугольник; чем больше секторов, тем ровнее становятся его стороны. Высота этой фигуры приблизительно равна R, а основание — половине длины окружности, то есть πR.
Площадь получившегося прямоугольника равна произведению сторон: πR · R. Когда секторов становится очень много, фигура всё точнее заполняет ту же площадь, что и исходный круг, поэтому S = πR². Радиус входит в формулу дважды: один раз задаёт высоту, другой — половину основания; этим объясняется квадрат R.
Длина окружности измеряется единицами длины, например сантиметрами или метрами, а площадь — квадратными единицами, например см² или м². Если радиус увеличить в k раз, формула C = 2πR показывает, что длина увеличится в k раз. В формуле площади радиус возводится в квадрат, поэтому новая площадь будет больше в k² раз.
| Величина | Обозначение | Формула через радиус R | Формула через диаметр d | Единицы измерения |
|---|---|---|---|---|
| Длина окружности | C | 2πR | πd | Единицы длины: мм, см, м |
| Площадь круга | S | πR² | πd²/4 | Квадратные единицы: мм², см², м² |
Сначала найди, какая величина дана в условии: радиус или диаметр, а затем выбери соответствующий столбец формул. Для площади через диаметр использовано равенство R = d/2. Последний столбец помогает проверить, правильно ли записаны единицы ответа.
Задача 1. Найти длину окружности радиуса 5 см. Дано значение радиуса, поэтому удобнее использовать формулу C = 2πR, а не сначала вычислять диаметр. Оставим ответ с π точным; если нужно приближённое значение, можно подставить π ≈ 3,14.
Ответ: 10π см, или приблизительно 31,4 см. В записи есть сантиметры, потому что мы нашли длину, а не площадь.
Задача 2. Длина окружности равна 18π см. Найти её радиус и диаметр. Здесь неизвестен радиус, поэтому сначала выразим его из формулы длины окружности; затем используем связь диаметра с радиусом.
Ответ: радиус равен 9 см, диаметр — 18 см. Сокращение π допустимо, потому что оно стоит и в числителе, и в знаменателе.
Задача 3. Найти площадь круговой площадки диаметром 12 м и определить, во сколько раз изменится площадь, если диаметр увеличить в 3 раза. Формула площади использует радиус, поэтому сначала переведём диаметр в радиус. Для сравнения площадей учтём, что увеличение диаметра в 3 раза одновременно увеличивает радиус в 3 раза.
Ответ: площадь равна 36π м², или приблизительно 113,04 м²; после увеличения диаметра площадь станет в 9 раз больше.
В формулу S = πR² иногда подставляют диаметр вместо радиуса. Это происходит потому, что диаметр часто дан в условии и кажется подходящей величиной, но он вдвое длиннее радиуса. Перед вычислением проверь обозначение в формуле: если дан d, сначала найди R = d/2.
Формулы C = 2πR и S = πR² можно перепутать, особенно если сосредоточиться только на числе π. Чтобы проверить себя, спроси, что нужно найти: длину границы или площадь внутри неё. Затем проверь единицу ответа: для C нужна единица длины, а для S — квадратная единица.
Ещё одна ошибка — записать площадь в сантиметрах, а длину в квадратных сантиметрах. Причина обычно в том, что единицы забывают проверить после вычисления. Сверь результат с тем, что измеряешь: длину записывают, например, в см, а площадь — в см².
При увеличении радиуса в несколько раз площадь иногда увеличивают во столько же раз. Так ошибаются, когда применяют к площади правило, подходящее для длины. Проверь по формуле S = πR²: если R заменён на kR, появляется множитель k², а не k.
Для работы с окружностью понадобятся понятия радиуса и диаметра, а также равенство d = 2R. Понимание площади прямоугольника помогает увидеть, почему площадь круга можно представить через произведение двух длин. Формулы длины окружности и площади круга применяются при измерении круглых предметов, расчёте материала для круглых поверхностей и решении задач о периметрах и площадях фигур.
Что такое число π и почему оно появляется в формуле длины окружности?
Число π — это одинаковое для всех окружностей отношение их длины к диаметру. Поэтому длина окружности равна π, умноженному на диаметр: C = πd. Приближённо π ≈ 3,14.
Как найти длину окружности, если известен её диаметр?
Умножь диаметр на число π: C = πd. Например, если d = 6 см, то C = 6π см, или приблизительно 18,84 см.
Почему в формуле площади круга радиус возводят в квадрат?
При разбиении круга на много тонких секторов их можно сложить в фигуру, похожую на прямоугольник. Его стороны примерно равны R и половине длины окружности, то есть πR, поэтому площадь равна R · πR = πR².
Как найти площадь круга, если дан диаметр?
Сначала раздели диаметр на два и найди радиус: R = d : 2. Затем подставь его в формулу S = πR²; например, при d = 12 м получаем R = 6 м и S = 36π м².
Во сколько раз изменится площадь круга, если радиус увеличить вдвое?
Площадь увеличится в четыре раза. В формуле S = πR² радиус возводится в квадрат, поэтому при замене R на 2R получаем S = π(2R)² = 4πR².
§ 2. Длина окружности и площадь круга
