109. Построение правильных многоугольников

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Чтобы строить такую фигуру, удобно сначала найти её вершины на окружности: равные промежутки по окружности помогают получить и равные стороны, и равные углы.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Её центр равноудалён от вершин, то есть расстояния от центра до каждой вершины одинаковы и являются радиусами. Такая окружность служит опорой для построения: на ней отмечают будущие вершины.

Центральный угол правильного многоугольника — угол с вершиной в центре описанной окружности, стороны которого проходят через две соседние вершины. Если у многоугольника n сторон, величина такого угла равна 360° : n. По нему можно понять, на какие равные части нужно разделить окружность.

Деление окружности на равные дуги — способ получить вершины фигуры, откладывая одинаковые дуги по всей окружности. Дуга — часть окружности между двумя точками. Если отметить равные дуги и соединить их концы в нужном порядке, получится правильный многоугольник.

Как это устроено

Вписанный многоугольник имеет все вершины на одной окружности. В правильной фигуре соседние стороны равны, а равным хордам одной окружности соответствуют равные дуги. Поэтому вершины правильного многоугольника делят окружность на равные дуги. Центральные углы, опирающиеся на эти дуги, тоже равны: у них общий центр, а их стороны проходят через концы соответствующих дуг.

Полный оборот вокруг центра составляет 360°. Если окружность разделена на n одинаковых частей, на одну часть приходится 360° : n. Так находят центральный угол правильного n-угольника: например, у шестиугольника он равен 60°, а у квадрата — 90°. Это не внутренний угол фигуры: центральный угол расположен у центра окружности, а внутренний — у вершины многоугольника.

Шестиугольник можно построить циркулем и линейкой без измерения углов. Сначала выбери точку на окружности, затем раствором циркуля, равным радиусу, последовательно отмечай на окружности следующие точки. Почему такой шаг подходит? Если соединить центр с концами одной стороны, получится треугольник с двумя сторонами-радиусами и углом 60° между ними. Его углы равны 60°, поэтому сторона-хорда равна радиусу.

Из шестиугольника получается правильный треугольник: нужно взять каждую вторую его вершину. Между выбранными точками лежат по две дуги шестиугольника, то есть дуги одинаковой величины — по 120°. Равным дугам соответствуют равные хорды, поэтому стороны треугольника равны; его углы также одинаковы, каждый равен 60°.

Чтобы получить квадрат, проведи через центр два взаимно перпендикулярных диаметра. Их четыре конца лежат на окружности и идут по ней через равные промежутки: соседние радиусы образуют прямой угол, то есть дуги между соседними точками равны. Соедини концы диаметров по порядку. Равным дугам соответствуют равные стороны-корды, а каждый внутренний угол квадрата прямой.

Построение правильных многоугольников в окружности

Сначала определи, сколько вершин нужно получить, а затем выбери подходящий способ их размещения на окружности. В последнем столбце указано, какие точки соединять: порядок важен, иначе стороны фигуры могут пересечься.

Разбор задач

1. Построить правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность

Условие: дана окружность, требуется построить на ней правильный шестиугольник. Заранее вычислять длины сторон не нужно: достаточно использовать радиус окружности как раствор циркуля. Проверим, что после шести шагов циркуль вернётся к начальной точке.

1. Отметь на окружности произвольную точку A и проведи радиус к ней, чтобы знать нужную ширину раствора циркуля.
2. Установи раствор циркуля равным радиусу. Поставь иглу в A и отметь на окружности следующую точку; повтори действие, каждый раз ставя иглу в последнюю отмеченную точку.
3. После шести одинаковых шагов получатся шесть вершин. Соедини соседние точки линейкой по порядку, не пропуская точки.

Ответ: получен правильный вписанный шестиугольник. Каждый шаг соответствует центральному углу 60°, а шесть таких углов составляют 360°. Поэтому точки равномерно распределены по окружности.

2. Построить квадрат, вписанный в данную окружность

Условие: дана окружность, на которой нужно построить квадрат. У квадрата четыре вершины, значит, соседние точки должны разделять окружность на четыре равные дуги. Для этого достаточно разделить полный угол вокруг центра на четыре части.

1. Найди центр окружности и проведи через него первый диаметр.
2. Построй через центр прямую, перпендикулярную первому диаметру. Второй диаметр пересечёт окружность ещё в двух точках.
3. Соедини четыре конца диаметров по порядку вдоль окружности. Не соединяй противоположные точки вместо соседних.

Ответ: получен вписанный квадрат. Перпендикулярные диаметры создают четыре равных центральных угла по 90°, поэтому равны и хорды между соседними точками. Каждый внутренний угол фигуры прямой.

3. Построить правильный треугольник, вписанный в данную окружность, не выполняя построение заново

Условие: на окружности уже построен правильный шестиугольник. Нужно получить вписанный правильный треугольник, используя его вершины. Поскольку треугольнику нужны три равноудалённые точки, будем выбирать их через одну.

1. Пронумеруй вершины шестиугольника по порядку от 1 до 6, чтобы не перепутать выбранные точки.
2. Выбери вершины 1, 3 и 5. Между каждой парой соседних выбранных вершин по окружности лежат две дуги шестиугольника.
3. Соедини выбранные вершины по порядку. Важно соединять именно три выбранные точки, а не соседние вершины всего шестиугольника.

Ответ: построен правильный треугольник. Каждая его сторона стягивает дугу из двух дуг шестиугольника, то есть дугу 120°. Эти дуги равны, следовательно, равны соответствующие хорды и стороны треугольника.

Типичные ошибки

Можно правильно задумать деление окружности на равные дуги, но отметить точки неточно или соединить их не по порядку. Это часто происходит, когда построение выполняют на глаз и не следят за раствором циркуля. Проверь, совпадают ли шаги, и проследи последовательность вершин вдоль окружности: стороны правильного многоугольника не должны пересекаться.

При построении шестиугольника иногда берут произвольную длину хорды, а не радиус окружности. Равенство стороны радиусу справедливо именно для правильного вписанного шестиугольника, поэтому другой шаг не даст шести равных дуг. Проверь раствор циркуля по отрезку от центра до окружности и только потом откладывай хорды.

Центральный угол часто путают с внутренним углом многоугольника. Первый равен 360° : n, а второй — 180° − 360° : n; ошибка возникает из-за того, что оба угла связаны с одной фигурой. Перед вычислением укажи, где находится вершина угла: в центре окружности или на границе многоугольника.

Для квадрата недостаточно провести любые два диаметра: они должны быть перпендикулярны. Если угол между ними не прямой, окружность не разделится на четыре равные дуги, и соседние стороны окажутся разными. Проверь построение угольником или убедись, что диаметры образуют четыре прямых угла.

Связь с другими темами

Для построений нужны свойства окружности, радиуса, диаметра и хорды, а также умение проводить перпендикулярные прямые циркулем и линейкой. Центральные и вписанные углы помогают объяснить, почему дуги и стороны получаются равными, и находить углы многоугольников. Такие построения используются в задачах, где нужно вписать фигуру в окружность или связать её элементы с радиусом.

Что запомнить

• Вершины правильного многоугольника на описанной окружности делят её на равные дуги.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360° : n.
• Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу окружности.
• Вершины правильного треугольника можно получить, взяв каждую вторую вершину шестиугольника.
• Квадрат в окружности строят по концам двух взаимно перпендикулярных диаметров.