108. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Если соединить его центр с вершинами, фигура разобьётся на равные равнобедренные треугольники. Такое разбиение удобно: площадь многоугольника можно найти, сложив площади простых фигур — треугольников.

Радиус вписанной окружности правильного многоугольника — расстояние от его центра до стороны, измеренное по перпендикуляру. Он равен высоте каждого из равных треугольников в разбиении. Это позволяет использовать известное правило площади треугольника и находить площадь всего многоугольника.

Периметр правильного многоугольника — сумма длин всех его сторон. Обозначим число сторон буквой n, длину одной стороны — a, а периметр — P; тогда P = na. Это обозначение помогает записывать формулы кратко и переходить от длины одной стороны к общей длине границы фигуры.

Площадь правильного многоугольника — сумма площадей треугольников, на которые его разбивают от центра. Обозначим её буквой S. Поскольку треугольники одинаковы, можно найти площадь одного и умножить на их число либо сложить их основания и получить общую формулу.

Как это устроено

Центр соединяют со всеми вершинами, потому что так весь многоугольник без промежутков и наложений разбивается на треугольники. Их боковые стороны — радиусы описанной окружности, поэтому в каждом треугольнике две стороны равны, то есть он равнобедренный. У правильного многоугольника все такие треугольники равны: у них одинаковые боковые стороны, а центральные углы равны. Основание каждого треугольника — сторона многоугольника длиной a.

Площадь треугольника вычисляют как половину произведения основания на высоту. Здесь высота равна радиусу вписанной окружности r, потому что это расстояние от центра до стороны по перпендикуляру. Значит, площадь каждого треугольника равна ½ar. Складывая площади всех n треугольников, получаем ½ar · n; так как P = na, это выражение превращается в S = ½Pr.

Чтобы связать сторону a и радиус r, опустим из центра перпендикуляр на сторону. В равнобедренном треугольнике такой перпендикуляр одновременно является медианой, поэтому делит основание пополам: каждый получившийся прямоугольный треугольник имеет катет a/2 и второй катет r. Центральный угол между радиусами к соседним вершинам равен 360°/n. Перпендикуляр делит и этот угол пополам, так что острый угол рассматриваемого прямоугольного треугольника равен 180°/n.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла 180°/n это даёт tg(180°/n) = (a/2)/r. Умножив равенство на 2r, получаем a = 2r · tg(180°/n). Если выразить r, выйдет r = a/(2 · tg(180°/n)); эти записи помогают найти неизвестный параметр, когда известны сторона и число сторон или радиус и число сторон.

Для площади через сторону подставим P = na и r = a/(2 · tg(180°/n)) в формулу S = ½Pr. Получится S = ½ · na · a/(2 · tg(180°/n)) = na²/(4 · tg(180°/n)). Эта формула учитывает и размер стороны, и число сторон. Она позволяет вычислить площадь без отдельного нахождения радиуса.

Связь площади, стороны и радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Сначала определите, какие величины известны, и выберите соответствующий столбец. Для вычисления по стороне и числу сторон используйте формулу, где есть a и n; если дан радиус, удобнее начать с формулы для стороны или площади. В формулах тангенса угол задаётся в градусах, а число сторон n — целое.

Разбор задач

Площадь правильного шестиугольника

Дан правильный шестиугольник со стороной 4 см и радиусом вписанной окружности 2√3 см. Требуется найти площадь. Сначала удобно определить периметр, потому что в формуле S = ½Pr используется именно он, а не одна сторона. Затем подставим данные и проверим единицы измерения результата.

1. У шестиугольника n = 6 сторон, поэтому P = na = 6 · 4 = 24 см.
2. Применяем формулу площади: S = ½Pr = ½ · 24 · 2√3 = 24√3 см².
3. Проверяем размерность: длина, умноженная на длину, даёт квадратные сантиметры. Данные также согласуются с формулой радиуса: при n = 6 угол 180°/6 = 30°, и r = 4/(2 · tg 30°) = 2√3 см.

Ответ: 24√3 см².

Сторона правильного шестиугольника по радиусу

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен 3 см. Нужно найти сторону. Здесь известны r и n, поэтому используем формулу a = 2r · tg(180°/n). Угол зависит от числа сторон: у шестиугольника половина центрального угла равна 180°/6 = 30°.

1. Подставляем число сторон и радиус: a = 2 · 3 · tg 30°.
2. Так как tg 30° = 1/√3, получаем a = 6/√3 = 2√3 см.
3. Проверяем результат обратной формулой: r = a/(2 · tg 30°) = 2√3/(2/√3) = 3 см. Значит, вычисление согласуется с условием.

Ответ: 2√3 см.

Проверка данных для правильного восьмиугольника

Площадь правильного восьмиугольника указана равной 128 см², а радиус вписанной окружности — 8 см. Требуется найти сторону и периметр. Начнём с формулы S = ½Pr: она позволяет получить периметр из площади и радиуса, а затем разделить его на восемь. После этого обязательно проверим сторону по формуле связи с радиусом, потому что все данные должны описывать одну и ту же правильную фигуру.

1. Выражаем периметр: P = 2S/r = 2 · 128/8 = 32 см.
2. Если использовать только площадь, сторона получится a = P/n = 32/8 = 4 см.
3. Проверяем связь стороны и радиуса: для восьмиугольника a = 2 · 8 · tg 22,5° ≈ 6,63 см, а не 4 см. Следовательно, исходные данные противоречат друг другу, и такого правильного восьмиугольника не существует.

Ответ: по формуле площади получаются P = 32 см и a = 4 см, но эти значения не проходят проверку; при заданных площади и радиусе задача не имеет согласованного решения.

Типичные ошибки

Радиус вписанной окружности путают с радиусом описанной: первый перпендикулярен стороне, а второй соединяет центр с вершиной. Путаница возникает потому, что оба отрезка начинаются в центре. Проверьте, куда проведён отрезок: к стороне или к вершине.

В формулу S = ½Pr иногда подставляют сторону вместо периметра. Вероятная причина — сторона известна сразу, а периметр кажется лишним промежуточным шагом. Но сумма оснований всех треугольников равна всему периметру, а не одной стороне; проверьте, что использовали P = na.

При переходе от половины стороны к полной стороне забывают множитель 2 и записывают a = r · tg(180°/n). Это происходит, если не учесть, что перпендикуляр делит сторону пополам, поэтому в прямоугольном треугольнике катет равен a/2. Для проверки восстановите исходное равенство tg(180°/n) = (a/2)/r.

Вместо половины центрального угла 180°/n подставляют полный угол 360°/n. Так происходит, когда не замечают, что перпендикуляр делит центральный угол пополам вместе со стороной. Проверьте, какой угол входит в прямоугольный треугольник: именно его тангенс используется в формуле.

Связь с другими темами

Для понимания формулы площади нужны правило вычисления площади треугольника и свойства правильного многоугольника. Также необходимо знать, что перпендикуляр, проведённый из вершины равнобедренного треугольника к основанию, делит основание пополам. Связь стороны и радиуса строится на прямоугольном треугольнике и соотношении его катетов с углом.

Эти формулы помогают решать задачи на площади правильных фигур и находить неизвестные стороны и радиусы. Позже они пригодятся в стереометрии: например, когда нужно вычислить площадь правильного многоугольника, лежащего в основании пространственной фигуры. Умение проверять найденные значения помогает замечать несовместимые данные.

Что запомнить

• Правильный n-угольник разбивается из центра на n равных треугольников.
• Радиус вписанной окружности — высота каждого такого треугольника.
• Площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности: S = ½Pr.
• Периметр правильного n-угольника равен na.
• Перпендикуляр из центра к стороне делит её пополам.
• В формуле связи стороны и радиуса используется половина центрального угла: 180°/n.