"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
В правильный многоугольник можно вписать окружность, которая касается каждой его стороны. Её центр совпадает с центром многоугольника, а радиус равен расстоянию от этого центра до стороны. Это расстояние называют апофемой. Зная свойства центра и апофемы, можно доказать существование и единственность вписанной окружности, построить её и находить радиус в задачах. Например, у квадрата радиус равен половине стороны, а для других правильных многоугольников его часто находят с помощью прямоугольного треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Значит, его части устроены одинаково, и свойства, доказанные для одной стороны или вершины, можно применить к остальным. Это помогает понять, почему окружность может касаться всех сторон на одном и том же расстоянии от центра.
Окружность, вписанная в многоугольник, — окружность, которая касается каждой его стороны. Слово «каждой» здесь существенно: касание только одной или нескольких сторон не означает, что окружность вписана. Такое определение позволяет проверять, подходит ли окружность для всего многоугольника.
Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от его вершин и от его сторон. Расстояния до вершин измеряют отрезками, соединяющими центр с вершинами, а расстояния до сторон — перпендикулярами. Это различие пригодится, когда нужно найти радиус вписанной или описанной окружности.
Апофема правильного многоугольника — перпендикуляр, опущенный из его центра на сторону, а также длина этого перпендикуляра. Апофема показывает расстояние от центра до стороны и служит радиусом вписанной окружности. Поэтому её используют при построении окружности и решении задач на её радиус.
Чтобы понять, почему центр правильного многоугольника равноудалён от его сторон, соединим его с вершинами. Получатся центральные треугольники с равными сторонами и равными углами, поэтому они равны. В равных треугольниках соответствующие высоты равны; высота, опущенная из центра на сторону, как раз измеряет расстояние до неё. Значит, расстояния от центра до всех сторон одинаковы.
Обозначим это общее расстояние через r и проведём окружность с центром в центре многоугольника и радиусом r. Перпендикуляр от центра к каждой стороне имеет длину r, а потому конец такого перпендикуляра лежит на окружности. Перпендикуляр из точки к прямой даёт кратчайшее расстояние до неё, и в точке, где он встречает сторону, окружность касается стороны. Так как расстояния до всех сторон равны, одна окружность касается каждой из них.
Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен стороне: именно перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от центра до прямой. Его длина равна расстоянию от центра до стороны, то есть апофеме. Поэтому радиус вписанной окружности и апофема — один и тот же отрезок. Не путай его с отрезком от центра к вершине: тот является радиусом описанной окружности.
Вписанная окружность в правильный многоугольник только одна. Чтобы окружность касалась стороны, расстояние от её центра до этой стороны должно быть равно радиусу; чтобы касаться всех сторон, эти расстояния должны быть одинаковыми. Общая точка, равноудалённая от сторон правильного многоугольника, — его центр. Значит, центр и радиус такой окружности определены однозначно, и другой вписанной окружности быть не может.
Для построения сначала проводят биссектрисы углов многоугольника: биссектриса делит угол пополам, а её точки равноудалены от сторон этого угла. Пересечение биссектрис даёт центр правильного многоугольника. Затем из центра опускают перпендикуляр именно на сторону, а не на её продолжение; его длина будет радиусом. Проводят окружность с найденным центром и радиусом, и она касается всех сторон.
| Элемент или свойство | Что означает | Связь с другими элементами |
|---|---|---|
| Центр правильного многоугольника | Точка, равноудалённая от вершин и сторон | Совпадает с центром вписанной окружности |
| Апофема | Перпендикуляр от центра к стороне и его длина | Равна радиусу вписанной окружности |
| Радиус вписанной окружности | Расстояние от её центра до точки касания | Перпендикулярен стороне и равен апофеме |
| Точка касания | Точка, в которой окружность касается стороны | Радиус, проведённый к ней, перпендикулярен стороне |
| Расстояния от центра до сторон | Длины перпендикуляров от центра до сторон | Равны между собой и равны апофеме |
Сначала найди в таблице нужный элемент, затем проследи его связь с остальными. Если известна апофема, известен и радиус вписанной окружности; если нужно доказать касание, проверь перпендикулярность радиуса стороне в точке касания. Таблица также помогает не путать расстояние до стороны с расстоянием до вершины.
Задача 1. Докажите, что в правильном треугольнике можно провести окружность, касающуюся всех его сторон. Нужно не просто провести окружность у одной стороны, а обосновать касание всех трёх. Для этого достаточно использовать равенство расстояний от центра правильного многоугольника до его сторон.
Ответ: такая окружность существует, потому что центр правильного треугольника равноудалён от всех его сторон.
Задача 2. В правильном четырёхугольнике сторона равна 8 см. Найдите радиус вписанной окружности. Правильный четырёхугольник — квадрат, и его центр находится на одинаковом расстоянии от противоположных сторон. Искомый радиус равен расстоянию от центра до любой стороны.
Ответ: 4 см.
Задача 3. В правильном шестиугольнике сторона равна 6 см. Найдите радиус вписанной окружности. Здесь удобно построить прямоугольный треугольник: его гипотенуза — радиус описанной окружности, а один катет — половина стороны. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому гипотенуза равна 6 см.
Ответ: 3√3 см.
Ошибка: считать, что вписанная окружность касается только одной стороны. Так можно подумать, если сосредоточиться лишь на рисунке у одной стороны. Но по определению окружность должна касаться каждой стороны многоугольника. Проверь себя: перечисли все стороны и убедись, что у каждой есть точка касания.
Ошибка: принимать радиус вписанной окружности за расстояние от центра до вершины. Оба отрезка начинаются в центре, поэтому их легко перепутать. Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне, а отрезок до вершины относится к описанной окружности. Проверь, куда именно приходит отрезок: к стороне или к вершине.
Ошибка: опускать перпендикуляр из центра на продолжение стороны. Перпендикуляр к прямой может попасть за пределы отрезка, но тогда точка касания не лежит на стороне многоугольника. У вписанной окружности точка касания должна принадлежать самой стороне. На чертеже проверь, что основание перпендикуляра находится между концами стороны.
Ошибка: считать, что для вписанной окружности достаточно равенства только сторон или только углов. При таком рассуждении забывают, что свойства центра и равенство расстояний до сторон обосновываются для правильного многоугольника. В его определении равны и все стороны, и все углы. Проверь, что многоугольник правильный по обеим характеристикам, прежде чем применять выводы этой темы.
Для этой темы нужно помнить определение правильного многоугольника и знать, что биссектриса делит угол пополам, а перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние до прямой. Равенство расстояний от центра до сторон объясняется через равнобедренные треугольники и равенство прямоугольных треугольников. Позже апофема поможет находить площадь правильного многоугольника и связывать его сторону с радиусами вписанной и описанной окружностей. Поэтому важно различать отрезки от центра к стороне и к вершине.
Что значит, что окружность вписана в многоугольник?
Это значит, что окружность касается каждой стороны многоугольника. Точки касания лежат на самих сторонах, а не на их продолжениях.
Почему центр правильного многоугольника равноудалён от его сторон?
Центр правильного многоугольника соединён с его вершинами, и получаются равные треугольники. Поэтому перпендикулярные расстояния от центра до сторон этих треугольников равны.
Чем радиус вписанной окружности отличается от радиуса описанной окружности?
Радиус вписанной окружности проведён от центра к стороне перпендикулярно ей. Радиус описанной окружности соединяет центр с вершиной многоугольника.
Как найти центр вписанной окружности?
Проведите биссектрисы двух углов правильного многоугольника. Их точка пересечения будет центром; из неё опустите перпендикуляр на сторону.
Всегда ли в правильный многоугольник можно вписать только одну окружность?
Да. Расстояния от центра правильного многоугольника до всех сторон равны, поэтому окружность с таким центром и радиусом касается каждой стороны. Другой центр не сможет быть равноудалён от всех сторон.
107. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
