"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Описанная около многоугольника окружность проходит через все его вершины. У правильного многоугольника такая окружность всегда существует: его центр равноудалён от каждой вершины и становится центром окружности. Расстояние от этого центра до вершины называют радиусом. Для n-угольника радиусы к соседним вершинам делят полный угол вокруг центра на n равных частей, поэтому каждый центральный угол равен 360°/n. Эти свойства помогают строить окружность и находить её элементы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Окружность, описанная около многоугольника, — это окружность, проходящая через все его вершины. Например, для треугольника все три вершины должны лежать на одной окружности, а для четырёхугольника — все четыре. У правильного многоугольника такая окружность существует, потому что его стороны и углы равны, а вершины расположены симметрично. Это определение позволяет проверить, действительно ли окружность описана около всей фигуры.
Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин правильного многоугольника. Равноудалённость означает, что отрезки от этой точки до каждой вершины имеют одну и ту же длину. Благодаря этому центр можно найти, не строя окружность: достаточно определить подходящие серединные перпендикуляры. Их пересечение указывает место, из которого все вершины видны на одинаковом расстоянии.
Радиус описанной окружности — расстояние от её центра до любой вершины многоугольника. Обычно его обозначают R; отрезок от центра к вершине тоже является радиусом. Из-за равноудалённости можно выбрать любую вершину и измерить расстояние до неё. Это удобно при построении окружности и при решении задач на длины.
Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Его центр связан с расположением вершин так, что поворот вокруг этой точки на подходящий угол совмещает многоугольник с самим собой. Поэтому вершины располагаются вокруг центра равномерно, а расстояния до них совпадают. Это свойство и позволяет провести через все вершины одну окружность.
Серединный перпендикуляр к стороне — прямая, которая проходит через середину стороны под прямым углом к ней. Любая точка на этой прямой равноудалена от концов стороны: вместе с ними она образует равнобедренный треугольник. Центр правильного многоугольника равноудалён от его вершин, в том числе от двух концов любой стороны. Поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к каждой стороне.
Почему перпендикуляры пересекаются в одной точке? Возьмём два серединных перпендикуляра к сторонам, имеющим общую вершину. Они не параллельны, поэтому пересекаются; их общая точка равноудалена от трёх вершин, образующих эти стороны. В правильном многоугольнике симметрия сохраняет расстояния и переводит вершины друг в друга, поэтому расстояние от найденной точки до каждой следующей вершины остаётся таким же. Значит, одна точка равноудалена от всех вершин.
Представьте поворот правильного многоугольника вокруг его центра. Если повернуть его на угол между соседними вершинами, каждая вершина перейдёт на место следующей, а фигура совместится сама с собой. Поворот не меняет расстояний, поэтому расстояние от центра до вершины после поворота не изменится. Так объясняется, почему все вершины лежат на окружности с центром в точке поворота.
Отрезки от центра к соседним вершинам называют радиусами, а угол между ними — центральным. В правильном многоугольнике такие углы равны: симметричные промежутки между соседними вершинами одинаковы. Все промежутки вместе составляют полный угол вокруг точки, то есть 360°. Поэтому у правильного n-угольника каждый центральный угол равен 360°/n; например, у шестиугольника это 60°.
Для построения окружности около треугольника проведите серединные перпендикуляры к двум его сторонам. Их пересечение будет центром, потому что оно равноудалено от концов этих сторон, а для правильного треугольника — и от третьей вершины. У квадрата можно таким же способом пересечь перпендикуляры к двум сторонам. Из найденного центра проведите окружность радиусом до любой вершины: остальные вершины окажутся на ней.
| Что рассматриваем | Обозначение или свойство | Как найти или проверить |
|---|---|---|
| Центр описанной окружности | O | Пересечение серединных перпендикуляров к сторонам |
| Радиус описанной окружности | R | Расстояние от O до любой вершины |
| Центральный угол между соседними вершинами | 360°/n | Разделить 360° на число сторон n |
| Число равных центральных углов | n | Оно равно числу сторон и вершин |
| Расположение центра относительно сторон и вершин | Равноудалён от вершин; лежит на серединных перпендикулярах | Проверить равенство расстояний до вершин |
Сначала определите, что требуется найти: точку O, длину R или угол между радиусами. Для угла используйте число сторон n, а для радиуса сравните расстояния от центра до вершин. Серединные перпендикуляры помогают проверить расположение центра.
В правильном шестиугольнике отметьте центр описанной окружности и объясните, почему расстояния от него до всех вершин равны. Идея решения — использовать симметрию и равные центральные углы. Обозначим вершины по порядку A, B, C, D, E, F, а центр — O.
Проведём радиусы OA, OB, OC, OD, OE и OF к вершинам. Полный угол вокруг O равен 360°, а равные промежутки между шестью вершинами дают углы по 360°/6 = 60°. Поэтому соседние радиусы образуют одинаковые углы.
Поворот вокруг O на 60° переводит каждую вершину в следующую. Поворот сохраняет расстояния, значит, расстояние от O до A равно расстоянию от O до B, затем до C и так далее. Поэтому O равноудалён от всех шести вершин.
Ответ: O — центр описанной окружности, и OA = OB = OC = OD = OE = OF.
Постройте окружность, описанную около данного правильного треугольника, и укажите её центр и радиус. Чтобы построение было надёжным, сначала найдём точку, равноудалённую от вершин, а уже затем проведём окружность. Обозначим треугольник ABC.
Отметьте середины двух сторон, например AB и BC. Через каждую середину проведите прямую, перпендикулярную соответствующей стороне. Это серединные перпендикуляры, а каждая их точка равноудалена от концов своей стороны.
Обозначьте пересечение прямых буквой O. Точка O равноудалена от A и B, а также от B и C, поэтому OA = OB = OC. Теперь поставьте иглу циркуля в O, раскройте его до A и проведите окружность.
Ответ: O — центр описанной окружности, радиус равен OA (также OB и OC).
Найдите радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника со стороной 5 см. Чтобы связать сторону и радиус, соединим центр окружности с двумя соседними вершинами. Получится треугольник, две стороны которого являются радиусами, а третья — стороной шестиугольника.
Центральный угол правильного шестиугольника равен 360°/6 = 60°. Два радиуса равны между собой, так как оба являются радиусами одной окружности. Значит, треугольник с углом 60° между равными сторонами равносторонний.
В равностороннем треугольнике все стороны равны. Поэтому радиус окружности равен стороне шестиугольника: R = 5 см. Сначала использовали устройство фигуры, а уже затем подставили данную длину.
Ответ: 5 см.
Ошибка: считать центром описанной окружности точку пересечения диагоналей. Так делают, потому что у знакомых фигур, например квадрата, эта точка действительно совпадает с центром. Но у другого правильного многоугольника диагонали могут пересекаться не в той точке, которая равноудалена от вершин. Проверьте расстояния от предполагаемого центра до всех вершин или постройте серединные перпендикуляры.
Ошибка: провести окружность через несколько вершин и не проверять остальные. Несколько точек могут лежать на одной окружности, но это ещё не доказывает, что она описана около всего многоугольника. Такая ошибка возникает, если принять совпадение части фигуры за проверку целиком. Убедитесь, что каждая вершина находится на окружности, то есть расстояние от центра до неё равно радиусу.
Ошибка: без объяснения отождествлять центр окружности с точкой пересечения биссектрис углов. В правильном многоугольнике эти точки совпадают, но одно лишь название точки не доказывает её равноудалённость от вершин. Чтобы обосновать построение, покажите, что центр лежит на серединных перпендикулярах, либо используйте симметрию правильной фигуры. Самопроверка — сравнить расстояния от найденной точки до всех вершин.
Ошибка: считать радиус равным стороне любого правильного многоугольника. Это верно для правильного шестиугольника, поэтому свойство иногда ошибочно переносят на другие фигуры. В них центральный угол уже не равен 60°, и треугольник из двух радиусов и стороны не обязан быть равносторонним. Перед вычислением выясните, есть ли основание приравнять радиус к стороне; например, найдите центральный угол 360°/n.
Для этой темы понадобятся определение правильного многоугольника, свойства равнобедренного треугольника и свойство серединного перпендикуляра: каждая его точка равноудалена от концов отрезка. Построение также связано с центральными углами и тем, что сумма углов вокруг точки равна 360°. Эти знания помогают объяснить, почему вершины находятся на одной окружности и как вычислить угол между соседними радиусами. Описанная окружность пригодится при дальнейшем изучении правильных многоугольников, их элементов и задач на окружность.
Как понять, что окружность описана около многоугольника?
Она проходит через все вершины многоугольника. Значит, каждая вершина лежит на окружности, а не просто внутри неё или рядом.
Где находится центр описанной окружности правильного многоугольника?
Это точка, равноудалённая от всех его вершин. Она лежит на серединных перпендикулярах к сторонам и совпадает с центром симметрии правильного многоугольника.
Как построить центр описанной окружности?
Проведите серединные перпендикуляры к двум сторонам многоугольника. Их точка пересечения и будет центром: она равноудалена от концов каждой из этих сторон, а для правильного многоугольника — и от всех вершин.
Почему центр равноудалён от всех вершин?
Поворот правильного многоугольника вокруг его центра переводит его вершины друг в друга. Поскольку поворот сохраняет расстояния, расстояния от центра до всех вершин одинаковы.
Всегда ли радиус описанной окружности равен стороне многоугольника?
Нет, это верно не для каждого правильного многоугольника. Например, в правильном шестиугольнике радиус равен стороне, потому что треугольник с двумя радиусами и стороной шестиугольника равносторонний.
106. Окружность, описанная около правильного многоугольника
