105. Правильный многоугольник

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Равенство сторон означает, что длина любой стороны одна и та же, а равенство углов — что все внутренние углы имеют одинаковую величину. Выпуклость значит, что фигура не имеет «впадин»: отрезок между любыми двумя её точками лежит внутри неё. Для правильности нужны сразу оба равенства.

Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин. Она служит центром описанной окружности — окружности, проходящей через каждую вершину многоугольника. Поэтому центр можно находить и рассматривать как центр этой окружности. Это помогает связывать вершины и стороны фигуры с окружностью.

Радиус описанной окружности правильного многоугольника — расстояние от его центра до любой вершины. Все такие расстояния равны, поэтому достаточно обозначить радиус буквой R и провести его к одной вершине. Он понадобится, когда известны центр и вершины или нужно рассмотреть треугольник с ними.

Радиус вписанной окружности — расстояние от центра правильного многоугольника до любой его стороны. Такая окружность находится внутри фигуры и касается каждой стороны. Радиус к точке касания перпендикулярен стороне, поэтому его часто обозначают буквой r. Он показывает, насколько далеко от центра расположена каждая сторона.

Как это устроено

Равные стороны сами по себе не гарантируют равенства углов, а равные углы не требуют равенства сторон. Например, ромб имеет равные стороны, но его углы могут быть разными; у некоторых выпуклых многоугольников углы равны, а стороны — нет. Поэтому в определении правильного многоугольника одновременно указаны оба условия. Выпуклость исключает фигуры с углублениями, для которых обычная картина углов и центра может нарушиться.

Около правильного многоугольника можно описать окружность, потому что равенство его сторон и углов обеспечивает одинаковое расположение всех вершин относительно центра. Если провести биссектрисы равных углов, они направлены симметрично и пересекаются в общей точке; биссектриса делит угол на две равные части. Эта точка равноудалена от вершин, поэтому окружность с таким центром и радиусом до вершины проходит через все вершины. Иначе говоря, все вершины лежат на одной окружности.

Вписанная окружность существует потому, что центр правильного многоугольника одинаково удалён от всех его сторон. Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру, то есть по кратчайшему отрезку, проведённому под прямым углом. Если взять это общее расстояние за радиус, окружность коснётся каждой стороны. В точке касания радиус перпендикулярен стороне, поэтому окружность не пересекает её насквозь.

Отрезки от центра к вершинам разбивают фигуру на равные треугольники: соответствующие стороны и углы многоугольника одинаковы. Поэтому центральные углы между направлениями на соседние вершины тоже равны. Вместе они составляют полный угол вокруг точки — 360°, а таких углов столько же, сколько сторон, то есть n. Значит, центральный угол α правильного n-угольника равен 360°/n.

Радиус к середине стороны перпендикулярен этой стороне: равные расстояния от центра до её концов дают равнобедренный треугольник, а перпендикуляр из его вершины к основанию делит основание пополам. В правильном многоугольнике этот отрезок также делит центральный угол пополам, образуя прямоугольный треугольник. Его гипотенуза — R, один катет — r, другой — половина стороны a/2, а угол при центре равен α/2. Поэтому a/2 = R sin(α/2), а r = R cos(α/2).

Элементы и свойства правильного n-угольника

Сначала определите число сторон n и найдите центральный угол. Затем выберите нужный радиус: к вершине идёт R, а к стороне — r. Формулы в последней строке получены из прямоугольного треугольника с катетами a/2 и r.

Разбор задач

1. Проверяем определение

Условие. Выпуклый пятиугольник имеет равные стороны и равные углы. Является ли он правильным? Проверим не только внешнее сходство фигуры, но и каждое условие определения. Важно учесть, что слово «выпуклый» в условии уже отвечает за форму многоугольника.

1. В определении правильного многоугольника требуется, чтобы все стороны были равны. По условию это выполнено.
2. Также должны быть равны все углы. Это условие тоже выполнено.
3. Наконец, многоугольник должен быть выпуклым, а в условии он назван выпуклым. Значит, выполнены все три требования определения.

Ответ: да, этот пятиугольник правильный. Если бы в условии отсутствовало равенство хотя бы сторон или углов, одного равенства другого вида было бы недостаточно.

2. Находим центральный угол

Условие. Найти центральный угол правильного восьмиугольника. Центральный угол образован радиусами, проведёнными к двум соседним вершинам. Вокруг центра помещается полный угол 360°.

1. У восьмиугольника восемь сторон, значит, вокруг центра образуются восемь равных центральных углов.
2. Разделим полный угол на их число: 360°/8 = 45°.
3. Проверим смысл результата: восемь углов по 45° дают 360°, то есть полный оборот.

Ответ: 45°. Делить нужно именно на число сторон, потому что каждой стороне соответствует один центральный угол между соседними вершинами.

3. Используем прямоугольный треугольник

Условие. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен 6 см. Найти сторону и радиус вписанной окружности. Начнём с центрального угла, а затем рассмотрим треугольник, проведённый от центра к двум соседним вершинам. Это позволяет связать известный радиус с длиной стороны.

1. Центральный угол равен 360°/6 = 60°. Треугольник с вершинами в центре и двух соседних вершинах равнобедренный: две его стороны — радиусы длиной 6 см. При вершине угол 60°, поэтому два остальных угла тоже по 60°; треугольник равносторонний, и сторона шестиугольника равна 6 см.
2. Проведём из центра перпендикуляр к стороне. Он делит сторону пополам, значит, один катет полученного прямоугольного треугольника равен 3 см, а гипотенуза — 6 см.
3. По теореме Пифагора r² + 3² = 6², поэтому r² = 27 и r = 3√3 см. Берём положительный корень, так как радиус — длина.

Ответ: сторона равна 6 см, радиус вписанной окружности — 3√3 см. Радиус описанной окружности и сторона совпали в этом примере из-за того, что треугольник между центром и соседними вершинами равносторонний.

Типичные ошибки

• Считать достаточным равенство только сторон или только углов. Так ошибаются, потому что одно свойство легко принять за полное описание фигуры. Проверьте себя по определению: стороны и углы должны быть равны одновременно, а многоугольник — выпуклым.
• Путать радиусы описанной и вписанной окружностей. Их названия похожи, но один отрезок ведёт к вершине, другой — к стороне. Спросите себя, к чему проведён радиус: если он заканчивается у вершины, это R; если перпендикулярен стороне, это r.
• Делить 360° не на число сторон. Ошибка возникает, когда забывают, что каждый угол расположен между направлениями к соседним вершинам. Проверьте число равных секторов вокруг центра: их столько же, сколько сторон, поэтому α = 360°/n.
• Считать R и r равными. Радиусы заканчиваются на разных элементах фигуры — вершине и стороне, поэтому обычно отличаются. Сверьте их с прямоугольным треугольником: R — гипотенуза, а r — катет, и при ненулевой половине стороны длина гипотенузы больше.

Связь с другими темами

Чтобы изучать правильные многоугольники, нужно знать, что такое выпуклый многоугольник, равные стороны и углы, биссектриса и перпендикуляр. Свойства окружности и равнобедренного треугольника объясняют, почему вершины лежат на окружности, а центр одинаково удалён от сторон. Позже эти знания пригодятся при вычислении длин сторон, углов и площадей, построении фигур и изучении симметрии.

Что запомнить

• У правильного многоугольника равны все стороны и все углы.
• Около правильного многоугольника можно описать окружность.
• В правильный многоугольник можно вписать окружность.
• Центр правильного многоугольника равноудалён от его вершин и от его сторон.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• Радиус описанной окружности проведён к вершине, а радиус вписанной — к стороне.