§ 1. Правильные многоугольники

Определения и обозначения

Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Одного равенства сторон недостаточно: например, у ромба углы могут различаться. Это определение помогает отличить правильную фигуру от просто симметричной или похожей на неё.

Центр правильного многоугольника — общий центр описанной и вписанной окружностей. Описанная окружность проходит через все вершины, а вписанная касается всех сторон. Центр удобно использовать как исходную точку, чтобы находить углы и расстояния до вершин и сторон.

Радиус правильного многоугольника — радиус описанной окружности, проведённый к вершине многоугольника. Он соединяет центр с одной из вершин, поэтому все такие радиусы равны. С их помощью можно разбить фигуру на равные треугольники и исследовать её углы.

Апофема правильного многоугольника — радиус вписанной окружности, проведённый к стороне. Он идёт от центра к точке касания и перпендикулярен стороне. Апофема показывает расстояние от центра до стороны и используется, например, при вычислении площади многоугольника.

Как это устроено

У правильного многоугольника можно описать окружность, потому что его вершины одинаково расположены вокруг центра. Если соединить центр с вершинами, получаются равные треугольники: их стороны многоугольника равны, а углы при центре распределены одинаково. Поэтому расстояния от центра до вершин совпадают, и все вершины лежат на одной окружности. Её радиус равен расстоянию от центра до любой вершины.

Вписанная окружность касается каждой стороны на одинаковом расстоянии от центра. Для этого из центра опускают перпендикуляры на стороны: в равных треугольниках такие отрезки имеют одну длину. Значит, точки касания находятся на одной окружности с центром в центре многоугольника. Радиус этой окружности и есть апофема, а перпендикулярность показывает, как он связан со стороной.

Из центра к вершинам проводят радиусы и получают центральные углы между соседними радиусами. У правильного многоугольника эти углы равны, потому что стороны и углы фигуры повторяются одинаково. Все углы вокруг точки в сумме дают 360°, а соседних пар вершин ровно n. Поэтому каждый центральный угол равен 360°/n.

Два радиуса к соседним вершинам вместе со стороной образуют треугольник. Два его радиуса равны, следовательно, треугольник равнобедренный. Угол между радиусами — центральный угол, равный 360°/n, а два угла у основания равны между собой. Это объясняет, почему стороны правильного многоугольника располагаются одинаково относительно центра.

Внутренний угол многоугольника и центральный угол, построенный у той же стороны, составляют развернутый угол. Их сумма равна 180°, поэтому из 180° нужно вычесть центральный угол. Так для правильного n-угольника получаем формулу внутреннего угла: 180° − 360°/n. Формула подходит для любого числа сторон n, начиная с трёх.

Элементы и углы правильного n-угольника

Сначала найди число сторон n, затем подставь его в строку нужного угла. Например, центральный угол используют, когда требуется определить поворот между соседними вершинами. Описание радиуса и апофемы помогает не перепутать отрезки на чертеже.

Разбор задач

Найдите центральный и внутренний углы правильного шестиугольника

У шестиугольника шесть сторон, поэтому n = 6. Сначала найдём центральный угол: он показывает, какую часть полного оборота занимает пара соседних радиусов. Затем из 180° вычтем его, чтобы получить внутренний угол.

1. Подставляем n = 6 в формулу центрального угла: 360°/6 = 60°.
2. Вычитаем полученное значение из 180°: 180° − 60° = 120°.

Ответ: центральный угол равен 60°, внутренний — 120°.

Периметр правильного восьмиугольника равен 40 см. Найдите длину его стороны и центральный угол

Восьмиугольник имеет восемь равных сторон. Периметр — это сумма длин всех сторон, поэтому для нахождения одной стороны его нужно разделить на восемь. Центральный угол зависит от числа сторон, а не от длины периметра.

1. Находим длину стороны: 40 см : 8 = 5 см.
2. Подставляем число сторон в формулу центрального угла: 360°/8 = 45°.

Ответ: длина стороны равна 5 см, центральный угол — 45°.

В правильном многоугольнике внутренний угол равен 150°. Определите число его сторон

Нам известен внутренний угол, а требуется число сторон n. Подставим 150° вместо внутреннего угла в формулу 180° − 360°/n. Сначала найдём центральный угол, а затем выясним, на сколько равных частей делится полный угол 360°.

1. Составляем уравнение: 180° − 360°/n = 150°.
2. Переносим разность: 360°/n = 180° − 150° = 30°.
3. Находим n: n = 360°/30° = 12.

Ответ: у многоугольника 12 сторон.

Типичные ошибки

Ошибка — считать правильным любой многоугольник с равными сторонами. Такое рассуждение кажется убедительным, потому что длины всех рёбер совпадают, но углы при этом могут различаться. Проверь оба условия определения: равенство сторон и равенство углов. Если одно из них не выполнено, многоугольник не является правильным.

Иногда радиус описанной окружности принимают за апофему. Путаница возникает, потому что оба отрезка начинаются в центре. Проследи, куда направлен отрезок: к вершине — это радиус описанной окружности, к стороне перпендикулярно ей — апофема. Такая проверка по концам и направлению отрезка помогает правильно читать чертёж.

В формуле центрального угла можно ошибиться, поделив 360° не на то число. Поскольку полный угол делится на части по числу промежутков между соседними радиусами, число таких частей равно числу сторон и вершин. Перед вычислением запиши n и проверь, что ты используешь именно число сторон данного многоугольника.

Для внутреннего угла иногда вычитают центральный угол из 360°. Ошибка появляется из-за того, что оба угла связаны с одной вершиной, но они не составляют полный угол вокруг точки. Они смежные, поэтому их сумма равна 180°. Самопроверка: сложи найденные углы — должно получиться 180°.

Связь с другими темами

Для объяснения свойств правильного многоугольника нужны знания о равнобедренном треугольнике: у него равны углы при основании. Также пригодятся сумма углов треугольника и правило о том, что углы вокруг точки дают 360°. Эти свойства помогают понять, откуда берутся формулы углов.

Понятия окружности и радиуса нужны, чтобы различать описанную и вписанную окружности. Знание перпендикуляра к прямой помогает увидеть, почему апофема кратчайшим образом соединяет центр со стороной. Позже эти элементы будут полезны при вычислении площадей многоугольников и изучении правильных фигур в старших классах.

Что запомнить

• У правильного многоугольника равны все стороны и все углы.
• Около правильного многоугольника можно описать окружность.
• В правильный многоугольник можно вписать окружность.
• Центр правильного многоугольника — общий центр этих окружностей.
• Центральный угол правильного n-угольника равен 360°/n.
• Внутренний угол правильного n-угольника равен 180° − 360°/n.