"Геометрия", Погорелов А.В.
Правильный многоугольник — выпуклая фигура, у которой равны и все стороны, и все углы. Благодаря этому её можно связать с окружностью: центр равноудалён от вершин, а стороны расположены вокруг него симметрично. Для многоугольника с n сторонами центральный угол равен 360°/n, а каждый внутренний угол — 180°(n−2)/n. Эти свойства помогают находить углы, периметр и площадь; для площади используют периметр и апофему — расстояние от центра до стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Выпуклый означает, что любой отрезок между точками фигуры целиком лежит внутри неё. Одного равенства сторон или углов недостаточно: нужны оба условия. По ним можно отличить правильную фигуру от просто равносторонней.
Центр правильного многоугольника — точка, равноудалённая от всех его вершин и сторон. Она расположена внутри фигуры и служит общей точкой для построения радиусов и апофем. Это понятие помогает описывать симметрию многоугольника и вычислять его углы. Расстояние от центра до каждой стороны одинаково.
Радиус правильного многоугольника — расстояние от его центра до любой вершины. Если соединить центр со всеми вершинами, получатся отрезки одинаковой длины. Радиус помогает разделить многоугольник на треугольники и найти центральный угол. Его обычно обозначают R.
Апофема правильного многоугольника — перпендикуляр, опущенный из центра на сторону; её длина равна расстоянию от центра до стороны. Перпендикуляр образует с этой стороной прямой угол. Апофему обозначают r, и она служит высотой треугольника при разбиении фигуры. Благодаря этому можно выразить площадь через периметр и апофему.
У правильного многоугольника все вершины находятся на одинаковом расстоянии от центра. Если взять это расстояние за радиус и провести окружность, каждая вершина окажется на ней. Поэтому правильный многоугольник можно вписать в окружность: окружность проходит через все его вершины. Равенство расстояний здесь не случайное свойство, а часть симметричного устройства фигуры.
Около правильного многоугольника можно описать окружность — то есть провести окружность, касающуюся каждой его стороны. Центр фигуры равноудалён от сторон, а отрезки к точкам касания перпендикулярны сторонам. Равенство сторон и углов заставляет стороны располагаться вокруг центра одинаково, без сгущения с одной стороны. Поэтому окружность с центром в этой точке касается всех сторон на одном расстоянии.
Соединим центр со всеми вершинами. Радиусы делят многоугольник на треугольники, у каждого из которых две стороны — радиусы, а третья совпадает со стороной многоугольника. Все такие треугольники равны: их боковые стороны равны как радиусы, а основания — как стороны правильного многоугольника. Поэтому равны и углы при центре, которые называют центральными. Так равенство сторон и углов фигуры связано с одинаковым делением пространства вокруг центра.
Полный угол вокруг точки равен 360°. В правильном n-угольнике он разделён на n одинаковых центральных углов, потому что треугольники, построенные на соседних вершинах, равны. Значит, чтобы найти один центральный угол, нужно разделить 360° на число сторон: α = 360°/n. Например, у восьмиугольника получается 360°/8 = 45°.
Чтобы найти внутренний угол правильного n-угольника, сначала используем сумму внутренних углов любого n-угольника: 180°(n−2). В правильном многоугольнике все эти углы равны, поэтому каждый составляет одну n-ю часть суммы. Получаем β = 180°(n−2)/n. Есть и проверка: внутренний угол и центральный угол вместе дают 180°, так как радиусы образуют равнобедренный треугольник, а его углы при основании равны внутренним углам фигуры.
| Что рассматриваем | Связь с числом сторон n |
|---|---|
| Центральный угол | 360°/n |
| Каждый внутренний угол | 180°(n−2)/n |
| Сумма внутренних углов | 180°(n−2) |
| Периметр при стороне a | P = na |
| Площадь через периметр P и апофему r | S = Pr/2 |
В таблице n обозначает число сторон, a — длину одной стороны, P — периметр, r — апофему. Выбери строку с нужной величиной и подставь известные значения; следи за единицами измерения. Для проверки углов можно сравнить центральный и внутренний: их сумма должна быть 180°.
Периметр — это сумма длин всех сторон. У правильного шестиугольника шесть равных сторон, поэтому вместо сложения 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 можно умножить длину одной стороны на число сторон. Такой способ подходит для любого правильного многоугольника.
Ответ: периметр шестиугольника равен 24 см. Проверка: шесть отрезков по 4 см дают в сумме 24 см. Единица измерения остаётся сантиметром, поскольку мы складывали длины.
Сначала найдём центральный угол: полный оборот вокруг центра делится поровну между восемью сторонами. Затем определим внутренний угол по формуле для правильного n-угольника. Можно также проверить его, вычтя центральный угол из 180°.
Ответ: центральный угол равен 45°, внутренний — 135°. Проверка подтверждает, что результат согласуется с равнобедренным треугольником, образованным двумя радиусами и стороной. Важно не назвать центральный угол внутренним: это разные углы с разными вершинами.
Проведём из центра отрезки к вершинам: фигура разделится на треугольники с основаниями вдоль её сторон. Высота каждого такого треугольника равна апофеме, поскольку она перпендикулярна стороне. Площади треугольников складываются в площадь многоугольника, а сумма их оснований равна периметру. Поэтому общая площадь равна половине произведения периметра на апофему.
Ответ: площадь равна 120 см². Квадратные сантиметры получаются потому, что перемножаются две длины. Для такого решения не требуется знать число сторон или длину каждой из них.
Ошибка — считать правильным любой многоугольник с равными сторонами или, наоборот, с равными углами. Так происходит, когда два условия определения запоминают отдельно и теряют одно из них. Проверь фигуру по обоим признакам: все стороны равны и все углы равны. Если одно условие не выполняется, многоугольник не является правильным.
Центральный угол иногда принимают за внутренний, хотя это разные углы. Их величины связаны, поэтому легко перепутать их, если не смотреть на вершину угла: у центрального она в центре фигуры, у внутреннего — в вершине многоугольника. В правильном n-угольнике они дополняют друг друга до 180°. Сложи найденные значения: если сумма не 180°, проверь вычисления.
При вычислении центрального угла можно по ошибке разделить 360° на число вершин плюс один. Число вершин у многоугольника равно числу сторон, и вокруг центра образуется столько же равных центральных углов. Поэтому делить нужно именно на n. Проверка: все полученные углы вместе должны дать полный оборот 360°.
В формуле площади апофему иногда используют как отрезок к вершине, а не как высоту. Поскольку она перпендикулярна стороне, её длина является высотой треугольника с основанием на этой стороне. Если подставить вместо неё радиус, расчёт площади окажется неверным. На чертеже или в записи проверь, что высота образует со стороной прямой угол.
Для понимания правильных многоугольников пригодятся свойства равнобедренного треугольника: именно такие треугольники получаются при соединении центра с соседними вершинами. Нужно также знать формулу суммы внутренних углов многоугольника и понимать, что полный угол вокруг точки равен 360°. Эти знания позволяют вывести формулы центрального и внутреннего углов, а не просто запомнить их.
Центр, радиус и апофема связывают многоугольник с окружностями: через вершины можно провести окружность, а к сторонам — описать окружность, касающуюся каждой из них. Позже те же понятия помогут разбирать вписанные и описанные фигуры. Формула площади через периметр и апофему показывает, как разложение фигуры на треугольники помогает находить площадь многоугольника.
Чем правильный многоугольник отличается от просто равностороннего?
У равностороннего многоугольника равны стороны, но углы могут быть разными. У правильного многоугольника равны и все стороны, и все углы. Например, ромб может иметь четыре равные стороны, но не быть правильным.
Почему у правильного многоугольника есть центр?
Из-за одинаковых сторон и углов вершины правильного многоугольника расположены симметрично вокруг одной точки. Эта точка находится на одинаковом расстоянии от всех вершин, поэтому через вершины можно провести одну окружность с центром в ней.
Как найти центральный угол, если известно число сторон?
Раздели полный угол вокруг центра, то есть 360°, на число сторон n. Получится формула α = 360°/n. Например, у правильного шестиугольника центральный угол равен 60°.
Чем радиус правильного многоугольника отличается от апофемы?
Радиус соединяет центр многоугольника с вершиной. Апофема — перпендикуляр от центра к стороне, поэтому она заканчивается на стороне, а не в вершине. Обычно эти отрезки имеют разную длину.
Как найти площадь правильного многоугольника, если известны периметр и апофема?
Умножь периметр P на апофему r и раздели результат на 2: S = Pr/2. Апофема служит высотой треугольников, на которые многоугольник делится отрезками к вершинам.
116. Правильные многоугольники
