"Геометрия", Погорелов А.В.
Выпуклый многоугольник — фигура, которая целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую её сторону. Его диагонали не выходят за границу фигуры, поэтому из одной вершины можно разделить многоугольник на треугольники. Это помогает найти сумму внутренних углов любого выпуклого n-угольника: она равна 180°(n − 2). Зная формулу, можно вычислять сумму углов или находить число сторон многоугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выпуклый многоугольник — многоугольник, который лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Иначе говоря, ни одна такая прямая не проходит через внутреннюю часть фигуры так, чтобы часть многоугольника оказалась с другой стороны. Это определение нужно, чтобы точно отличать выпуклые фигуры от невыпуклых, а не полагаться только на внешний вид.
Внутренний угол многоугольника образован двумя сторонами, выходящими из одной вершины. Внутренней называют ту область угла, которая находится внутри многоугольника. Эти углы измеряют и складывают, чтобы исследовать форму многоугольника и применять формулу суммы углов.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Несоседними называют вершины, которые не соединены стороной. Диагональ помогает разделять многоугольник на более простые фигуры, например на треугольники.
Сумма внутренних углов многоугольника — результат сложения внутренних углов при всех его вершинах. Если многоугольник имеет n вершин, то в сумму входят все n углов, по одному при каждой вершине. Для выпуклого многоугольника эту сумму можно найти, разбив фигуру на треугольники.
Чтобы проверить выпуклость, представьте прямую, которая проходит через одну из сторон, и посмотрите, где находятся остальные точки многоугольника. Если все они лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой, условие выполнено для данной стороны; так проверяют каждую сторону. У невыпуклого многоугольника найдётся сторона, прямая которой разделит фигуру на части по разные стороны. Проверка отрезками даёт тот же смысл: если соединить две точки выпуклой фигуры, отрезок не должен выходить за её границу.
У выпуклого многоугольника диагональ соединяет две его точки — вершины, поэтому по свойству выпуклости весь отрезок лежит внутри фигуры. Возьмём одну вершину и проведём из неё диагонали ко всем вершинам, кроме неё самой и двух соседних. Соседние вершины уже соединены с выбранной вершиной сторонами, а не диагоналями. Получившиеся треугольники заполняют многоугольник без промежутков и наложений.
Почему треугольников получается именно n − 2? Если идти по границе от выбранной вершины к соседней и затем к остальным вершинам, каждая новая диагональ отделяет очередной треугольник. При этом две стороны многоугольника, прилегающие к выбранной вершине, не становятся границами отдельных дополнительных треугольников. В итоге число образовавшихся треугольников на два меньше числа вершин: например, в пятиугольнике их три.
Сумма углов всех получившихся треугольников равна сумме внутренних углов исходного многоугольника: диагонали только разделяют его, не убирая и не добавляя углов внутри фигуры. Каждый треугольник имеет сумму углов 180°, а треугольников n − 2. Значит, сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2). Эта формула применима при n ≥ 3.
Проверим формулу на простых случаях. У треугольника n = 3, поэтому 180°(3 − 2) = 180°; у четырёхугольника n = 4, поэтому 180°(4 − 2) = 360°. При переходе от n сторон к n + 1 сторон число треугольников меняется с n − 2 на n − 1, то есть добавляется один треугольник. Поэтому сумма внутренних углов увеличивается ровно на 180°.
| Характеристика | Обозначение или правило |
|---|---|
| Число вершин и сторон | n |
| Число треугольников при разбиении из одной вершины | n − 2 |
| Сумма внутренних углов | 180°(n − 2) |
| Изменение суммы углов при добавлении одной стороны | Увеличивается на 180° |
Сначала определите число сторон n, затем найдите нужную характеристику в таблице или подставьте n в формулу. Если известна сумма углов, составьте уравнение и найдите n. Проверьте, что число сторон — целое и не меньше трёх.
Задача 1. Нужно определить, является ли изображённый многоугольник выпуклым, и обосновать ответ. Сам рисунок в условии не задан, поэтому решение строится по признаку выпуклости и применимо к конкретной фигуре. Не следует делать вывод только по тому, кажется ли фигура «вдавленной» или «выступающей».
Можно проверить и иначе: возьмите любые две точки фигуры и проследите, остаётся ли соединяющий их отрезок внутри неё. Если отрезок выходит наружу, фигура не выпуклая; для выпуклости такое невозможно. Ответ: выпуклость устанавливают проверкой относительно прямых всех сторон или по отрезкам между точками; без конкретного изображения назвать результат нельзя.
Задача 2. Найти сумму внутренних углов выпуклого пятиугольника. Пятиугольник имеет пять сторон, поэтому в формуле нужно взять n = 5. Проверим, что результат согласуется с разбиением на треугольники.
Ответ: сумма внутренних углов пятиугольника равна 540°.
Задача 3. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1260°. Нужно найти число его сторон. Неизвестным будет n, поэтому сначала подставим данную сумму в формулу, а затем решим уравнение.
Ответ: у многоугольника 9 сторон.
Считать выпуклым любой многоугольник, который выглядит без вогнутых углов, — ненадёжно: рисунок может быть неточным, а сам признак требует проверки. Нужно рассмотреть прямые, содержащие стороны, и убедиться, что фигура для каждой из них лежит по одну сторону. Для дополнительной проверки можно соединить точки внутри фигуры отрезком и посмотреть, не выходит ли он наружу.
Диагональ иногда путают со стороной, потому что обе соединяют вершины. Но сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — несоседние. Перед подсчётом диагоналей проверьте, не является ли выбранная пара вершин соседней.
При разбиении из одной вершины можно ошибочно получить n − 3 треугольника. Число n − 3 показывает, сколько диагоналей можно провести из этой вершины, а не сколько частей получится: треугольников всегда на один больше. Проверьте результат на четырёхугольнике: из вершины выходит одна диагональ, но она образует два треугольника.
Запись 180°n не учитывает, что многоугольник делится на n − 2 треугольника, а не на n. Из-за этого сумма получается завышенной на 360°. Для самопроверки подставьте n = 3: у треугольника должна получиться сумма 180°, и формула 180°(n − 2) это даёт.
Для работы с многоугольниками нужно знать, что такое вершины и стороны, и различать соседние и несоседние вершины. Ещё понадобится свойство треугольника: сумма его углов равна 180°. Умение проводить диагонали и разбивать фигуры на треугольники помогает понять, откуда берётся формула, а не просто запомнить её. Формула суммы углов пригодится в задачах на углы многоугольников и при изучении правильных многоугольников.
Как проверить, что многоугольник выпуклый?
Проверьте каждую его сторону: весь многоугольник должен лежать по одну сторону от прямой, содержащей эту сторону. Можно также проверить, что отрезок между любыми двумя точками фигуры целиком лежит внутри неё.
Может ли диагональ выпуклого многоугольника проходить вне него?
Нет. Диагональ соединяет несоседние вершины, а у выпуклого многоугольника отрезок между любыми двумя его точками лежит внутри фигуры. Поэтому диагональ не выходит наружу.
Сколько треугольников образуют диагонали, проведённые из одной вершины?
У выпуклого n-угольника получается n − 2 треугольника. Например, в пятиугольнике из одной вершины можно провести диагонали так, чтобы разделить его на три треугольника.
Почему в формуле суммы углов используется n − 2?
Диагонали из одной вершины делят выпуклый n-угольник на n − 2 треугольника. Сумма углов каждого из них равна 180°, поэтому общая сумма равна 180°(n − 2).
Как найти число сторон многоугольника, если известна сумма его внутренних углов?
Обозначьте число сторон буквой n и подставьте известную сумму в уравнение 180°(n − 2) = сумма углов. Решите уравнение: полученное значение n должно быть целым числом не меньше трёх.
115. Выпуклые многоугольники
