"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, а выпуклый многоугольник целиком лежит по одну сторону от прямой каждой своей стороны. Из одной вершины выпуклой фигуры можно провести диагонали и разделить её на треугольники. Это помогает найти сумму внутренних углов любого выпуклого n-угольника: она равна 180°(n − 2). По этой формуле можно также определить число сторон, если известна сумма углов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольник — это замкнутая ломаная без самопересечений вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Точки соединения звеньев называют вершинами, а сами звенья — сторонами. Число вершин и сторон у многоугольника одинаково, поэтому фигуру можно назвать, например, пятиугольником или n-угольником.
Выпуклый многоугольник — многоугольник, который лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Иными словами, ни одна сторона не «вдавливается» внутрь фигуры. Это условие позволяет применять к такой фигуре общие правила о диагоналях и сумме углов.
Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его вершины, не являющиеся соседними. Если вершины соседние, соединяющий их отрезок уже является стороной. Понятие диагонали понадобится, чтобы разделить многоугольник на более простые фигуры.
Внутренний угол многоугольника — угол, образованный двумя сторонами с общей вершиной и лежащий внутри многоугольника. У каждой вершины есть такой угол, а значит, у n-угольника — n внутренних углов. Их сумма зависит только от числа сторон, если многоугольник выпуклый.
У выпуклого многоугольника внутренняя часть расположена с одной стороны от прямой каждой стороны. Поэтому угол между сторонами внутри фигуры и считается внутренним: он обращён к области многоугольника. По той же причине диагональ из вершины к любой несоседней вершине проходит внутри фигуры, а не за её пределами.
Выберем вершину выпуклого n-угольника и проведём из неё диагонали ко всем несоседним вершинам. Эти отрезки делят фигуру на треугольники, потому что каждая диагональ вместе с двумя сторонами ограничивает треугольную область. Треугольников получается n − 2: например, у пятиугольника их три, у шестиугольника — четыре.
Сумма углов каждого треугольника равна 180°. При разбиении диагоналями внутренние углы исходного многоугольника составляют вместе все углы полученных треугольников: диагонали лишь разделяют область, не добавляя и не убирая её углов. Поэтому сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
Чтобы найти сумму углов, подставьте число сторон в формулу. Например, для треугольника получится 180°(3 − 2) = 180°, а для четырёхугольника — 180°(4 − 2) = 360°; такие частные случаи помогают проверить вычисления. Для шестиугольника сумма равна 180° · 4 = 720°.
Если известна сумма S, но число сторон неизвестно, замените n в формуле на неизвестное и решите уравнение 180°(n − 2) = S. Сначала разделите обе части на 180°, затем прибавьте 2. Полученное число должно быть целым и не меньше трёх, иначе условия задачи не соответствуют выпуклому многоугольнику.
| Число сторон n | Число треугольников при разбиении из одной вершины | Сумма внутренних углов |
|---|---|---|
| Треугольник: 3 | 1 | 180° |
| Четырёхугольник: 4 | 2 | 360° |
| Пятиугольник: 5 | 3 | 540° |
| n-угольник: n | n − 2 | 180°(n − 2) |
Для конкретной фигуры найдите в таблице число сторон, а затем прочитайте число треугольников и сумму углов. В последней строке записано общее правило для любого выпуклого многоугольника. Сравните число треугольников с n − 2, а не с n.
У пятиугольника пять сторон, значит, в формуле нужно взять n = 5. Можно представить и сам ход рассуждения: из одной вершины диагонали разделят пятиугольник на 5 − 2 = 3 треугольника. У каждого сумма углов 180°, поэтому сложим углы трёх треугольников.
Ответ: 540°.
Здесь известна сумма углов, а число сторон неизвестно, поэтому обозначим его n. Подставим известную сумму вместо S в формулу и решим уравнение. После нахождения n проверим, что число сторон целое и подходит для многоугольника.
Ответ: 9 сторон.
Число треугольников при разбиении из одной вершины равно n − 2, а не числу диагоналей. Поэтому по условию сначала найдём n из равенства n − 2 = 8. Затем подставим число сторон в формулу суммы углов.
Ответ: 10 сторон, сумма внутренних углов — 1440°.
Ошибка: считать, что из вершины можно провести n − 2 диагонали. Две соседние с выбранной вершиной точки уже соединены с ней сторонами, поэтому диагонали к ним не проводят; остаётся n − 3 диагонали. Для проверки сравните число диагоналей с числом треугольников: последнее на единицу больше.
Ошибка: использовать для суммы внутренних углов формулу 180°n. Так могут поступить, если умножить число сторон на 180°, не учитывая, что фигура разбивается не на n треугольников, а на n − 2. Проверьте результат на четырёхугольнике: формула должна давать 360°, то есть 180°(4 − 2).
Ошибка: путать число треугольников и число диагоналей из одной вершины. Диагоналей n − 3, а треугольников n − 2, потому что стороны фигуры тоже участвуют в образовании треугольных областей. Чтобы проверить себя, отдельно ответьте на два вопроса: сколько проведено отрезков-диагоналей и на сколько частей они разделили многоугольник.
Ошибка: применять свойства выпуклого многоугольника к фигуре с вогнутым углом. У такой фигуры некоторые диагонали могут проходить вне неё, поэтому привычное разбиение из одной вершины не подходит. Сначала проверьте условие выпуклости: фигура должна лежать по одну сторону от прямой, содержащей каждую её сторону.
Для этой темы нужны понятия ломаной, угла и треугольника, а также знание о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Формула суммы углов помогает решать задачи на многоугольники и пригодится при изучении правильных многоугольников. Понятие выпуклости также используется при дальнейшем изучении четырёхугольников и их свойств.
Как определить, является ли многоугольник выпуклым?
Проверьте каждую его сторону: весь многоугольник должен лежать по одну сторону от прямой, содержащей эту сторону. Если для какой-то стороны это условие не выполняется, многоугольник не выпуклый.
Чем диагональ отличается от стороны многоугольника?
Сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — две несоседние вершины. Поэтому отрезок между соседними вершинами является стороной, а не диагональю.
Почему выпуклый n-угольник разбивается на n − 2 треугольника?
Проведите диагонали из одной вершины ко всем несоседним с ней вершинам. Они делят выпуклый многоугольник на треугольники, причём их получается на два меньше, чем сторон: n − 2.
Как найти сумму внутренних углов многоугольника?
Если многоугольник выпуклый и у него n сторон, используйте формулу S = 180°(n − 2). Подставьте число сторон и выполните вычисления.
Как узнать число сторон по сумме внутренних углов?
Обозначьте число сторон буквой n, а известную сумму углов — буквой S. Решите уравнение 180°(n − 2) = S и проверьте, что получилось целое число не меньше трёх.
§ 13. Выпуклые многоугольники
