§ 12. Хорды и диаметры. Касательные и опорные прямые

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; эти точки и есть его концы. Хорда показывает, как связаны между собой две точки окружности, и позволяет сравнивать разные отрезки внутри неё. Если хорда проходит через центр, она занимает особое положение.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Его концы лежат на окружности, а центр является серединой диаметра, поэтому длина диаметра равна двум радиусам: d = 2R. Диаметр нужен, например, чтобы выразить размер окружности через радиус.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. По касательной удобно описывать положение прямой, которая касается окружности, но не пересекает её.

Опорная прямая окружности — прямая, для которой вся окружность лежит в одной из ограниченных ею полуплоскостей и имеет с ней общую точку. Полуплоскостью называют одну из двух частей плоскости по разные стороны от прямой. Для окружности такая опорная прямая касается её, не проходя сквозь неё.

Как это устроено

Опустим из центра окружности перпендикуляр на хорду. Вместе с радиусами к концам хорды он образует два прямоугольных треугольника: их гипотенузы — равные радиусы, а один катет общий. Треугольники равны, значит, равны и части хорды по обе стороны от перпендикуляра. Это также объясняется симметрией: отражение относительно прямой, проходящей через центр перпендикулярно хорде, переводит один конец хорды в другой.

Верно и обратное утверждение: если прямая проходит через центр и перпендикулярна хорде, то она делит её пополам. Рассмотрим прямоугольные треугольники с вершинами в центре и концах хорды. У них равны радиусы-гипотенузы, есть общий катет, лежащий на перпендикуляре, а углы при основании прямые. По признаку равенства прямоугольных треугольников треугольники равны, следовательно, отрезки хорды равны.

Равные хорды одной окружности равно удалены от центра, и наоборот. Для каждой хорды перпендикуляр из центра образует прямоугольный треугольник с гипотенузой-радиусом и катетами, равными расстоянию до хорды и половине хорды. У равных хорд равны половины, а радиусы одной окружности равны, поэтому по теореме Пифагора равны расстояния до них. Если расстояния равны, то при одинаковых гипотенузах равны и вторые катеты, а значит, равны хорды.

Пусть прямая касается окружности в точке A, а O — её центр. Если OA не перпендикулярен прямой, из центра к прямой можно опустить более короткий перпендикуляр, чем OA. Тогда расстояние от центра до прямой меньше радиуса, и прямая проходит внутри окружности, пересекая её ещё в одной точке. Это противоречит тому, что общая точка только одна. Значит, радиус к точке касания перпендикулярен касательной и является кратчайшим расстоянием от центра до неё.

Теперь проведём через точку окружности A прямую, перпендикулярную радиусу OA. Для любой другой точки этой прямой получается прямоугольный треугольник с катетом OA и ненулевым вторым катетом, поэтому расстояние от центра до неё больше радиуса. Такая точка не лежит на окружности, и единственной общей точкой остаётся A. Прямая является касательной, а окружность лежит по одну сторону от неё, значит, эта прямая также опорная.

Хорды, диаметры и касательные: определения и основные свойства

Сначала найди в условии таблицы подходящую строку: например, известное расстояние до хорды или перпендикулярность радиусу. Затем используй соответствующее свойство, чтобы получить нужную длину или доказать, что прямая касается окружности. Обратные утверждения тоже полезны: они позволяют перейти от равных расстояний к равенству хорд.

Разбор задач

Задача 1. В окружности радиуса 13 см расстояние от центра до хорды равно 5 см. Найдите длину хорды. Чтобы найти её, нужно сначала определить, какую часть хорды составляет катет прямоугольного треугольника: перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Затем применим теорему Пифагора, используя радиус как гипотенузу.

1. Обозначим половину хорды через x. Перпендикуляр и половина хорды — катеты, а радиус 13 см — гипотенуза.
2. По теореме Пифагора: x² + 5² = 13², поэтому x² = 169 − 25 = 144 и x = 12 см.
3. Вся хорда состоит из двух равных половин: 2 · 12 = 24 см.

Ответ: 24 см.

Задача 2. Две хорды одной окружности равны. Расстояние от центра до первой хорды равно 7 см. Найдите расстояние от центра до второй хорды. Здесь не требуется вычислять длину хорд или применять теорему Пифагора. Достаточно определить, какое свойство связывает равные хорды с расстояниями от центра.

1. Первая и вторая хорды принадлежат одной окружности и равны по условию.
2. Равные хорды одной окружности равно удалены от центра.
3. Значит, расстояние до второй хорды совпадает с расстоянием до первой и равно 7 см.

Ответ: 7 см.

Задача 3. В точке A окружности с центром O проведена прямая l, перпендикулярная OA. Докажите, что l — касательная и опорная прямая окружности. Сначала установим, что на прямой не может быть второй точки окружности. Затем проверим, по какую сторону от прямой расположена вся окружность.

1. Поскольку A лежит на окружности, OA — радиус. По условию l перпендикулярна OA в точке A.
2. Для любой другой точки B прямой l треугольник OAB прямоугольный, а OB² = OA² + AB². Так как AB больше нуля, OB больше OA, то есть больше радиуса; B не лежит на окружности.
3. Следовательно, единственная общая точка l с окружностью — A, поэтому l является касательной. Все точки окружности, кроме A, находятся по одной стороне от l, значит, l — опорная прямая.

Ответ: доказано.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любой перпендикуляр к хорде проходит через центр. Перпендикуляр можно провести и из другой точки, поэтому это свойство относится только к перпендикуляру, опущенному именно из центра. Проверяй, откуда проведена прямая: если её основание на хорде, но начало не в центре, деление пополам не гарантировано.

При вычислении длины хорды иногда подставляют в теорему Пифагора всю хорду вместо её половины. Так происходит, если забывают, что перпендикуляр из центра делит хорду пополам и образует прямоугольный треугольник только с одной половиной. Перед вычислением обозначь половину хорды буквой и проверь, что после решения удвоил её.

Диаметр путают с радиусом или считают, что это любой отрезок внутри окружности. Но диаметр — именно хорда, проходящая через центр, и его длина вдвое больше радиуса. Чтобы проверить ответ, посмотри, проходит ли отрезок через центр и равна ли его длина 2R.

Касательной иногда называют любую прямую, имеющую с окружностью общую точку. Однако касательная имеет ровно одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому к ней. Если прямая пересекает окружность в двух точках, это секущая; при доказательстве касания проверь перпендикулярность и точку пересечения.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в этих свойствах, нужно знать, что такое окружность и радиус, как строить перпендикулярные прямые и как измерять расстояние от точки до прямой. При решении задач понадобятся теорема Пифагора и признаки равенства прямоугольных треугольников: с их помощью связывают радиусы, расстояния до хорд и части хорд. Свойства касательной пригодятся при изучении взаимного расположения прямых и окружностей, а также в задачах на построение.

Что запомнить

• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.
• Равные хорды одной окружности равно удалены от центра.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Прямая, перпендикулярная радиусу в точке окружности, является касательной.
• Касательная к окружности является её опорной прямой.