"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Многоугольник связывают с окружностью двумя способами: его вершины могут лежать на окружности, а стороны — касаться её. В первом случае многоугольник называют вписанным, во втором — описанным. Эти понятия помогают находить центры окружностей, проверять свойства четырёхугольников и решать задачи о длинах сторон и углах. Главное — не путать, что именно соприкасается с окружностью, и проверять специальные условия для четырёхугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный многоугольник — многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эту окружность называют описанной около многоугольника. Иными словами, каждая вершина находится на окружности, а стороны соединяют соседние вершины. Такое определение помогает понять, какие фигуры можно рассматривать как части одной окружности.
Описанный многоугольник — многоугольник, все стороны которого касаются одной окружности. Эту окружность называют вписанной в многоугольник. Касание означает, что сторона и окружность имеют общую точку, а радиус, проведённый к ней, перпендикулярен стороне. По этому признаку проверяют, подходит ли окружность ко всем сторонам фигуры.
Описанная окружность многоугольника — окружность, проходящая через все его вершины. Её центр находится на одинаковом расстоянии от каждой вершины, и это расстояние является радиусом окружности. Поэтому для поиска центра можно использовать равные расстояния до вершин, а не положение центра внутри фигуры.
Вписанная окружность многоугольника — окружность, касающаяся всех его сторон. Её центр равноудалён от сторон: кратчайшие расстояния от центра до них одинаковы и равны радиусу. Это свойство помогает искать центр и проверять, действительно ли окружность касается каждой стороны.
Если все вершины многоугольника принадлежат одной окружности, то любая его сторона соединяет две точки этой окружности и является хордой. Именно поэтому говорят, что многоугольник вписан в окружность, а окружность описана около него. При описанном многоугольнике связь другая: окружность касается сторон, а вершины обычно не лежат на ней. Различать эти случаи удобно по тому, что именно соприкасается с окружностью — вершины или стороны.
Центр окружности, проходящей через вершины, равноудалён от этих вершин: расстояние от центра до каждой из них — радиус. У окружности, касающейся сторон, радиусы к точкам касания перпендикулярны сторонам. Эти радиусы показывают кратчайшее расстояние от центра до каждой прямой, содержащей сторону, поэтому расстояния равны радиусу. Так равенство расстояний объясняется свойством окружности, а не только положением её центра.
Чтобы проверить, можно ли описать окружность около четырёхугольника, проверяют суммы противоположных углов. Если четырёхугольник вписан, каждая пара его противоположных углов опирается на дуги, вместе составляющие целую окружность; поэтому сумма углов равна 180°. Обратно, для выпуклого четырёхугольника равенство противоположных углов 180° служит признаком того, что его можно вписать в окружность. Например, достаточно проверить одну пару, поскольку сумма всех четырёх углов равна 360°.
Для выпуклого четырёхугольника условие существования вписанной окружности — равенство сумм длин противоположных сторон. Почему оно возникает? От каждой вершины к окружности идут две касательные, и их отрезки равны; если сложить длины сторон по парам, касательные от каждой вершины входят в обе суммы одинаково. Поэтому суммы совпадают. Для выпуклого четырёхугольника верно и обратное: если суммы противоположных сторон равны, в него можно вписать окружность.
У правильного многоугольника все стороны и углы равны, а его оси симметрии проходят через общий центр. Отражение относительно такой оси сохраняет многоугольник, поэтому центр окружности, проходящей через вершины, должен лежать на оси. Центр окружности, касающейся сторон, тоже лежит на каждой оси симметрии, ведь отражение сохраняет и стороны, и расстояния до них. Значит, оба центра находятся в точке пересечения осей симметрии и совпадают.
| Случай | Расположение вершин | Расположение сторон | Что равноудалено от центра |
|---|---|---|---|
| Многоугольник вписан в окружность | Все вершины лежат на окружности | Стороны — хорды окружности | Вершины |
| Окружность описана около многоугольника | Окружность проходит через все вершины | Стороны соединяют соседние вершины | Вершины |
| Многоугольник описан около окружности | Вершины обычно не лежат на окружности | Все стороны касаются окружности | Стороны |
| Окружность вписана в многоугольник | Вершины обычно не лежат на окружности | Окружность касается всех сторон | Стороны |
Сначала посмотри, что связано с окружностью: вершины или стороны. Затем определи, какие элементы равноудалены от центра. Строки про вписанный многоугольник и описанную около него окружность описывают одну ситуацию с разных сторон.
Задача 1. Проверить, вписан ли четырёхугольник с углами 68°, 112°, 95° и 85° в окружность. Считаем, что углы перечислены по порядку, поэтому противоположные пары составляют первый и третий, второй и четвёртый углы. Для вписанного четырёхугольника суммы в обеих парах должны быть равны 180°. Это позволяет проверить условие без построения окружности.
Ответ: четырёхугольник нельзя вписать в окружность. Проверка показывает, что противоположные углы не являются дополнительными.
Задача 2. У выпуклого четырёхугольника стороны равны 5 см, 7 см, 6 см и 6 см. Нужно проверить, можно ли вписать в него окружность. Для этого сравнивают суммы противоположных сторон, а не соседних. Выпуклость фигуры указана, поэтому можно применить признак вписанной окружности для четырёхугольника.
Ответ: вписать окружность нельзя. Если бы суммы противоположных сторон совпали, для выпуклого четырёхугольника это было бы достаточным условием.
Задача 3. В выпуклый четырёхугольник вписана окружность, точки касания делят его стороны. Докажем, что суммы длин противоположных сторон равны. Обозначим стороны по порядку как AB, BC, CD и DA, а отрезки касательных от каждой вершины до точек касания — соответственно x, y, z и w. Равенство касательных из одной точки даст нужные выражения для сторон.
Ответ: AB + CD = BC + DA. Доказательство работает благодаря тому, что касательные, проведённые из одной вершины к окружности, имеют одинаковую длину.
Ошибка: назвать окружность вписанной, если она касается только одной стороны. Так думают, когда замечают отдельное касание, но определение требует касания каждой стороны многоугольника. Проверь себя: проведи радиусы к точкам касания и убедись, что для каждой стороны есть такая точка.
Ошибка: считать, что любой четырёхугольник можно вписать в окружность. У четырёхугольника противоположные углы могут не давать в сумме 180°, и тогда общего центра, равноудалённого от всех вершин, не существует. Проверь суммы обеих пар противоположных углов, прежде чем делать вывод.
Ошибка: путать вписанность и описанность. Это происходит потому, что слова похожи, но в первом случае на окружности лежат вершины, а во втором её касаются стороны. Для самопроверки спроси себя, какие элементы фигуры соприкасаются с окружностью.
Ошибка: утверждать, что центр описанной окружности всегда находится внутри многоугольника. Это верно не для каждой фигуры: например, у тупоугольного треугольника центр расположен снаружи. Проверяй не положение центра, а равенство расстояний от него до вершин.
Для этой темы нужны свойства радиуса, хорды и касательной, а также признаки равенства треугольников: ими обосновывают равенство отрезков. Свойства углов четырёхугольника помогают проверить условие вписанности, а равенство касательных — доказать условие для вписанной окружности. Позже эти знания пригодятся при изучении правильных многоугольников, вычислении площадей и доказательстве геометрических задач.
Чем вписанный многоугольник отличается от описанного?
У вписанного многоугольника все вершины лежат на одной окружности. У описанного все стороны касаются одной окружности.
Как найти центр описанной окружности?
Проведи серединные перпендикуляры к двум сторонам многоугольника, то есть прямые через середины сторон, перпендикулярные этим сторонам. Их точка пересечения равноудалена от вершин и является центром описанной окружности.
Как проверить, можно ли вписать четырёхугольник в окружность?
Сложи величины каждой пары противоположных углов. Если обе суммы равны 180°, четырёхугольник можно вписать в окружность.
Как проверить, можно ли вписать окружность в четырёхугольник?
Для выпуклого четырёхугольника сравни суммы длин противоположных сторон. Если они равны, в такой четырёхугольник можно вписать окружность.
Может ли центр описанной окружности находиться вне многоугольника?
Да. Например, у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника. При этом он по-прежнему равноудалён от всех вершин.
МНОГОУГОЛЬНИКИ И ОКРУЖНОСТИ
