"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Прямоугольный треугольник помогает находить расстояния, диагонали и другие неизвестные длины. Для этого используют теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Чтобы выбрать верное действие, сначала находят прямой угол и определяют, какая сторона лежит напротив него. Если известны три стороны, обратная теорема Пифагора позволяет проверить, прямоугольный ли треугольник. В задачах по чертежу сначала выделяют нужный прямоугольный треугольник и обозначают его стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Стороны такого треугольника называют катетами и гипотенузой. Это название нужно, чтобы различать стороны и правильно подставлять их длины в теорему Пифагора. На чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, которая образует прямой угол. Таких сторон две, и каждая примыкает к прямому углу. Катеты могут быть разной длины или равными. При записи теоремы Пифагора именно их квадраты складывают.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она не образует этот угол и всегда длиннее каждого катета. Это помогает распознать её на чертеже и не перепутать стороны в вычислениях. Обычно гипотенузу обозначают буквой c.
Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты обозначены a и b, а гипотенуза — c, то запись имеет вид a² + b² = c². Теорема связывает длины сторон, поэтому по двум известным сторонам можно найти третью. Она применима только к прямоугольным треугольникам.
Чтобы решить задачу, сначала найди прямой угол, а затем определи стороны относительно него. Две стороны, которые сходятся в прямом угле, — катеты; сторона напротив него — гипотенуза. Это различие принципиально: в равенстве a² + b² = c² гипотенуза стоит отдельно, а катеты складываются. Если просто выбрать самую длинную сторону, не проверив прямой угол, можно применить формулу не к тому треугольнику.
Когда известны оба катета, сложи квадраты их длин: c² = a² + b². Чтобы получить длину гипотенузы, извлеки квадратный корень: c = √(a² + b²). Корень берут потому, что в исходном равенстве неизвестная длина была возведена в квадрат. Длина положительна, поэтому выбирают положительное значение корня.
Если нужно найти катет, теорему сначала преобразуют: из c² = a² + b² вычитают квадрат известного катета. Например, для неизвестного b получается b² = c² − a², а затем b = √(c² − a²). Вычитание возникает потому, что известный квадрат нужно перенести из суммы, чтобы оставить только неизвестный. Подкоренное выражение не может быть отрицательным: гипотенуза должна быть длиннее катета.
По трём заданным длинам можно проверить, есть ли в треугольнике прямой угол. Сначала упорядочь длины и назови наибольшую гипотенузой-кандидатом, затем сравни её квадрат с суммой квадратов двух меньших сторон. Если равенство выполняется, обратная теорема Пифагора подтверждает, что треугольник прямоугольный. Важно проверять именно наибольшую сторону: она должна оказаться напротив прямого угла.
В геометрической задаче нужного треугольника иногда не видно сразу. Найди искомый отрезок и линии, которые вместе с ним могут образовать треугольник; затем отметь прямой угол и подпиши стороны. Например, стороны прямоугольника с диагональю образуют прямоугольный треугольник, потому что соседние стороны прямоугольника перпендикулярны. После этого становится ясно, какие длины подставлять и какую сторону искать.
| Что известно | Что найти | Равенство для решения |
|---|---|---|
| Длины двух катетов | Длину гипотенузы | c² = a² + b² |
| Длины гипотенузы и катета | Длину второго катета | b² = c² − a² |
| Длины всех трёх сторон | Проверить, прямоугольный ли треугольник | c² = a² + b², где c — наибольшая сторона |
| Геометрическая ситуация, в которой нужно выделить прямоугольный треугольник | Найти нужный отрезок | Сначала выделить треугольник, затем выбрать c² = a² + b² или b² = c² − a² |
Сначала определи, какой случай описывает условие, и назови стороны треугольника. Затем выбери равенство из последнего столбца и вырази искомую длину. В геометрической ситуации формулу выбирают только после того, как найден и проверен прямоугольный треугольник.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найди гипотенузу. Прямой угол образован катетами, поэтому их квадраты нужно сложить. Обозначим гипотенузу буквой c.
Ответ: гипотенуза равна 10 см. Проверка помогает убедиться в результате: 10 см длиннее каждого катета, как и должна быть гипотенуза. Кроме того, 10² действительно равно 6² + 8².
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найди второй катет. Неизвестную сторону нельзя принять за гипотенузу: напротив прямого угла находится сторона длиной 13 см. Поэтому квадрат неизвестного катета найдём вычитанием.
Ответ: второй катет равен 12 см. Проверим подстановкой: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Полученное значение согласуется с тем, что катет короче гипотенузы.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет размеры 9 м и 12 м. Найди длину диагонали и выясни, хватит ли троса длиной 16 м, чтобы проложить его по диагонали. Стороны площадки перпендикулярны, поэтому вместе с диагональю они образуют прямоугольный треугольник. Диагональ будет его гипотенузой.
Ответ: диагональ равна 15 м, троса достаточно. Мы использовали теорему, потому что диагональ и две соседние стороны площадки составляют прямоугольный треугольник. Сравнение длин выполняем уже после нахождения диагонали.
Иногда в формулу подставляют не те стороны, потому что не определили гипотенузу. Ошибка возникает, если ориентироваться только на расположение отрезков на рисунке или перепутать сторону напротив прямого угла с прилегающей. Сначала найди прямой угол и посмотри, какая сторона лежит напротив него. Проверь, что именно её квадрат стоит отдельно в равенстве.
При нахождении катета некоторые складывают квадраты известной стороны и гипотенузы. Так происходит, если механически повторить формулу, не выразив неизвестную величину. Запиши c² = a² + b² и вычти квадрат известного катета из обеих частей. Проверь ответ подстановкой: сумма квадратов катетов должна дать квадрат гипотенузы.
Теорему Пифагора иногда применяют к любому треугольнику, хотя она верна только для прямоугольного. На рисунке угол может казаться прямым из-за масштаба, но это не доказывает его равенство 90°. Найди отметку прямого угла или обоснуй его наличие другим условием. Если угол не подтверждён, сначала проверь, можно ли доказать прямоугольность.
При проверке прямоугольности можно ошибочно сравнить квадрат наименьшей стороны с суммой квадратов остальных. Причина — формулу применяют без определения роли сторон. Упорядочь длины и возведи в квадрат наибольшую, а затем сложи квадраты двух меньших. Равенство подтверждает прямоугольность; если оно не выполняется, стороны не образуют прямоугольный треугольник.
Для работы с теоремой Пифагора нужно различать виды треугольников, узнавать прямой угол и понимать названия сторон прямоугольного треугольника. Пригодятся также навыки возведения чисел в квадрат и извлечения квадратного корня. Если угол не отмечен, нельзя определять его величину только по виду чертежа: её нужно обосновать.
Теорема помогает находить расстояния, диагонали прямоугольников и длины отрезков, связанных с высотами. Позже она станет опорой для изучения тригонометрии прямоугольного треугольника, где стороны связывают с углами. Поэтому важно не только запомнить формулу, но и научиться выделять прямоугольный треугольник в геометрической ситуации.
Как быстро определить гипотенузу на чертеже?
Найди прямой угол: гипотенуза лежит напротив него. Она не образует этот угол и является самой длинной стороной треугольника. Если прямой угол на чертеже не отмечен, его наличие нужно обосновать.
Почему при нахождении катета нужно вычитать квадраты?
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поэтому, чтобы оставить квадрат неизвестного катета, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета.
Можно ли применять теорему Пифагора, если прямой угол не отмечен?
Нельзя применять её только потому, что на рисунке треугольник похож на прямоугольный. Нужно доказать наличие прямого угла или проверить по обратной теореме, что квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух остальных.
Как проверить, что треугольник с заданными сторонами прямоугольный?
Выбери наибольшую сторону и возведи все три длины в квадрат. Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Наибольшая сторона при этом будет гипотенузой.
Как понять, какой прямоугольный треугольник нужно выделить в задаче?
Ищи на чертеже прямой угол и нужную неизвестную длину: часто она становится одной из сторон подходящего треугольника. Проведи или отметь недостающие линии, например диагональ, и обозначь три стороны. Затем проверь, что известны две стороны или что можно найти их из условий.
З Задачи к главе II
