§ II. Тангенс и котангенс

Определения и обозначения

Тангенсом угла α называют отношение синуса этого угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α. Такое отношение можно вычислить, когда cos α ≠ 0, иначе деление невозможно. Тангенс позволяет выразить связь между синусом и косинусом одним числом. Например, если известны обе величины, достаточно разделить синус на косинус.

Котангенс угла α — это отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α. Он определён только при sin α ≠ 0, потому что синус стоит в знаменателе. Котангенс тоже сравнивает синус и косинус, но в обратном порядке. Поэтому при одинаковых ненулевых синусе и косинусе значения тангенса и котангенса взаимно обратны.

Запись tg α читают «тангенс альфа», а ctg α — «котангенс альфа». Буква α обозначает угол, от которого зависит значение величины; вместо неё можно использовать другую букву, например x. Записи tg α и ctg α — краткие обозначения дробей sin α / cos α и cos α / sin α соответственно. Порядок синуса и косинуса в этих дробях важно сохранять.

Как это устроено

Определения превращают известные синус и косинус в простые дроби. Если заданы оба значения и знаменатель не равен нулю, подставь их в нужное отношение и выполни деление. Например, при sin α = 3/5 и cos α = 4/5 тангенс равен (3/5) / (4/5), а котангенс — (4/5) / (3/5). Общий множитель 1/5 сокращается, поэтому получаются 3/4 и 4/3.

Для тангенса знаменатель — cos α, а косинус равен нулю при α = 90° и углах, отличающихся от него на целое число полных оборотов, то есть при α = 90° + 180°k. Поэтому в этих случаях тангенс не определён. У котангенса знаменатель sin α, который равен нулю при α = 0° и α = 180°; в общем виде это углы α = 180°k. Причина ограничений одна: дробь с нулевым знаменателем не имеет значения.

Если обе величины определены, можно перемножить их определения: tg α · ctg α = (sin α / cos α) · (cos α / sin α). Синус и косинус сокращаются, и остаётся 1. Сокращение допустимо только тогда, когда оба множителя не равны нулю, то есть обе дроби существуют. Поэтому это соотношение нельзя применять к углам, для которых не определён тангенс или котангенс.

Основное тождество sin² α + cos² α = 1 связывает квадраты синуса и косинуса. Разделим обе части на cos² α, которое не равно нулю в области определения тангенса: получим sin² α / cos² α + 1 = 1 / cos² α. Первая дробь равна tg² α, поэтому 1 + tg² α = 1 / cos² α. Если разделить тождество на sin² α, то аналогично выйдет 1 + ctg² α = 1 / sin² α.

Знак тангенса определяется знаками синуса и косинуса в дроби sin α / cos α; у котангенса они стоят в обратном порядке, но знак отношения тот же. В I четверти обе величины положительны, потому что синус и косинус положительны. Во II четверти синус положителен, а косинус отрицателен, поэтому тангенс и котангенс отрицательны. В III четверти оба знака отрицательные, а в IV синус отрицателен и косинус положителен: значит, в III четверти отношение положительно, а в IV — отрицательно.

Тангенс и котангенс угла

Сначала найди строку с нужным свойством, а затем выбери столбец тангенса или котангенса. В строке области определения проверяй, не обращается ли знаменатель в ноль. Строки со знаками показывают результат для первых двух четвертей; знак в остальных четвертях можно определить по знакам синуса и косинуса.

Разбор задач

Задача 1. Найти tg α и ctg α, если sin α = 3/5, cos α = 4/5

Нам известны оба значения, поэтому восстанавливать синус или косинус не нужно. Проверяем знаменатели: ни 3/5, ни 4/5 не равны нулю, значит обе величины определены. Подставляем значения в определения и сокращаем одинаковые множители.

1. Вычислим тангенс: tg α = (3/5) / (4/5) = (3/5) · (5/4) = 3/4.
2. Вычислим котангенс: ctg α = (4/5) / (3/5) = (4/5) · (5/3) = 4/3.
3. Проверим результат: (3/4) · (4/3) = 1, как и должно быть для двух определённых величин.

Ответ: tg α = 3/4, ctg α = 4/3.

Задача 2. Найти tg α, если cos α = −1/2 и α лежит во II четверти

В определении тангенса нужен синус, поэтому сначала найдём его квадрат из основного тождества. Само извлечение квадратного корня даёт два возможных знака, и выбрать нужный помогает четверть. Во II четверти синус положителен, а заданный косинус отрицателен.

1. Запишем тождество: sin² α + cos² α = 1. Подставим cos α = −1/2: sin² α = 1 − (−1/2)² = 1 − 1/4 = 3/4.
2. Извлечём квадратный корень: sin α = ±√3/2. Так как угол находится во II четверти, синус положительный, значит sin α = √3/2.
3. Подставим синус и косинус в определение: tg α = (√3/2) / (−1/2) = −√3.

Ответ: tg α = −√3.

Задача 3. Упростить (1 + tg² α) · cos² α и указать, при каких α выражение имеет смысл

В скобках находится левая часть тождества для тангенса. По нему скобки можно заменить на 1 / cos² α, после чего множитель cos² α сократится. Но прежде чем упрощать, нужно выяснить область допустимых значений: исходное выражение содержит tg α.

1. Тангенс определён, только если cos α ≠ 0. Это условие необходимо для исходного выражения.
2. Используем равенство 1 + tg² α = 1 / cos² α. Тогда выражение равно (1 / cos² α) · cos² α = 1.
3. Результат 1 верен при всех углах, для которых исходное выражение определено. При cos α = 0 подстановка единицы после сокращения недопустима: исходный тангенс не существует.

Ответ: 1 при cos α ≠ 0, то есть при α ≠ 90° + 180°k, где k — целое число.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами синус и косинус в определениях. Так происходит, если помнить только, что это отношения двух величин, но забыть их порядок. Чтобы проверить себя, выпиши дроби: у тангенса сверху sin α, у котангенса сверху cos α. Ещё одна проверка: произведение этих дробей сокращается до единицы.

Иногда считают, что tg α и ctg α существуют при любом угле. Причина — забытый запрет на деление на ноль: в одном случае знаменатель косинус, в другом — синус. Перед вычислением подстановки проверь, что нужный знаменатель не равен нулю. Например, при 90° косинус равен нулю, поэтому тангенс не определён.

При восстановлении синуса или косинуса из квадрата выбирают только положительный корень или только отрицательный. Но из sin² α = 3/4 следуют два варианта: sin α = √3/2 и sin α = −√3/2. Знак квадрата этого не решает; его подсказывает четверть угла. Поэтому сперва найди возможные значения, а затем выбери знак по четверти.

Ещё одна ошибка — применять tg α · ctg α = 1, не проверяя, определены ли оба множителя. Произведение сокращается только при ненулевых синусе и косинусе; если один из них равен нулю, соответствующая дробь не существует. Проверяй область определения до сокращения. Если хотя бы одна величина не определена, равенство к этому углу неприменимо.

Связь с другими темами

Для изучения тангенса и котангенса нужны определения синуса и косинуса, тождество sin² α + cos² α = 1 и сведения о знаках этих величин в четвертях. Тождество помогает находить неизвестный синус или косинус, а четверть — правильно выбрать знак. Без этих знаний вычисление тангенса по одной заданной величине может дать два варианта.

Тангенс и котангенс используют при решении прямоугольных треугольников и вычислении тригонометрических выражений. Их отношения помогают связать известные величины угла и стороны, а формулы упрощают выражения. При решении задач всегда учитывай ограничения знаменателей: упрощённая запись может выглядеть допустимой даже там, где исходное выражение не определено.

Что запомнить

• tg α = sin α / cos α.
• ctg α = cos α / sin α.
• Тангенс не определён, когда cos α = 0.
• Котангенс не определён, когда sin α = 0.
• Если обе величины определены, tg α · ctg α = 1.
• 1 + tg² α = 1 / cos² α; 1 + ctg² α = 1 / sin² α.