§ 10. Применения косинуса

Определения и обозначения

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Например, если эти стороны равны 6 см и 10 см, то cos α = 6/10. Определение помогает выбрать правильные стороны для вычисления.

Прилежащий катет — катет, который образует заданный острый угол. У него с этим углом есть общая вершина, и он является одной из его сторон, но не гипотенузой. Если выбрать другой острый угол, прилежащим будет уже другой катет.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она не входит в состав прямого угла и всегда длиннее каждого катета. В определении косинуса гипотенуза является знаменателем, с которым сравнивают прилежащий катет.

Применение косинуса — это использование отношения прилежащего катета и гипотенузы для нахождения неизвестной стороны или угла. Косинус связывает именно эти три элемента треугольника. Поэтому перед вычислением нужно определить выбранный угол и названия сторон относительно него.

Как это устроено

Косинус зависит от угла, а не от размеров треугольника. Если два прямоугольных треугольника имеют одинаковый острый угол, то они подобны по двум углам: у обоих есть прямой угол и один равный острый угол. Значит, их соответствующие стороны увеличиваются во столько же раз, и отношение прилежащего катета к гипотенузе остаётся прежним.

Пусть известны угол α и гипотенуза c, а прилежащий катет обозначен a. Из определения получаем cos α = a/c, поэтому умножаем обе части на c и записываем a = c · cos α. Затем подставляем значение косинуса угла и проверяем, что результат меньше гипотенузы.

Если известны угол α и прилежащий катет a, требуется найти гипотенузу c. В равенстве cos α = a/c умножаем обе части на c, а затем делим на cos α: c = a / cos α. Делить можно, потому что для острого угла косинус положителен.

Чтобы найти угол по сторонам, сначала составляют отношение a/c. Полученное число является значением cos α, после чего угол находят по таблице или с помощью функции arccos на калькуляторе. В ответе обязательно указывают градусы, если условие задачи задано в градусах.

Практическую ситуацию сначала переводят в геометрическую модель. Известные величины обозначают на схеме, выделяют прямоугольный треугольник и выбирают угол, с которым связаны нужные стороны. Если среди них есть гипотенуза и прилежащий катет, подходит косинус; после составления формулы остаётся решить обычное уравнение.

Косинусы некоторых углов и их применение

Чтобы пользоваться таблицей, найдите в первом столбце известный угол, а затем умножьте гипотенузу на значение косинуса. Для острого угла прямоугольного треугольника используются значения между 0 и 90°, не включая сами границы. Строки 0° и 90° помогают понять свойства косинуса, хотя такие углы не являются острыми.

Разбор задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а острый угол равен 60°. Нужно найти катет, прилежащий к этому углу. Обозначим его через a и используем отношение косинуса к гипотенузе. Значение cos 60° берём из таблицы.

1. Записываем формулу: cos 60° = a/10.
2. Подставляем cos 60° = 1/2: 1/2 = a/10.
3. Выражаем катет: a = 10 · 1/2 = 5 см.

Ответ: 5 см. Полученный катет меньше гипотенузы, поэтому результат согласуется со свойствами прямоугольного треугольника.

Задача 2

Гипотенуза равна 13 см, а прилежащий к углу α катет равен 6,5 см. Здесь обе стороны уже известны, поэтому сначала находим значение косинуса, а затем подбираем угол. Важно не перепутать выбранный катет с противолежащим.

1. Составляем отношение: cos α = 6,5/13.
2. Выполняем деление: cos α = 0,5.
3. По таблице узнаём, что cos 60° = 0,5, значит α = 60°.

Ответ: 60°. Отношение меньше 1, что подтверждает: катет не длиннее гипотенузы.

Задача 3

Наблюдатель видит верхушку башни под углом 30° к горизонтали, а горизонтальное расстояние до основания равно 40 м. Линия взгляда, горизонтальный отрезок и башня образуют прямоугольный треугольник. Горизонтальный отрезок прилежит к углу 30°, а линия взгляда является гипотенузой.

1. Обозначаем расстояние до верхушки через c.
2. Записываем cos 30° = 40/c.
3. Подставляем √3/2 = 40/c и выражаем гипотенузу: c = 40/(√3/2) = 80/√3 ≈ 46,2 м.

Ответ: примерно 46,2 м. Расстояние до верхушки получилось больше горизонтального расстояния, что естественно для гипотенузы.

Типичные ошибки

Путают прилежащий и противолежащий катеты. Это происходит, если смотреть на треугольник вообще, а не относительно выбранного угла. Проверьте себя: прилежащий катет имеет общую вершину с углом, а противолежащий находится напротив него.

В отношение косинуса подставляют катет, который не прилежит к рассматриваемому углу. Обычно ошибка появляется при смене угла без повторной проверки сторон. Проведите мысленно одну из сторон угла: нужный катет должен образовывать этот угол и не быть гипотенузой.

Переставляют числитель и знаменатель и пишут гипотенуза / катет. Так делают из-за невнимательного запоминания формулы. Сравните результат с 1: косинус острого угла не может быть больше 1, поэтому правильная дробь — катет / гипотенуза.

При работе с калькулятором выбирают не тот режим измерения углов. Если условие дано в градусах, нужен режим DEG, а для радианов — RAD. Перед вычислением проверьте обозначение режима и убедитесь, что ответ имеет подходящую величину.

Связь с другими темами

Для изучения косинуса нужны знания о прямоугольном треугольнике, его катетах и гипотенузе, а также о подобии треугольников. Теорема Пифагора помогает находить третью сторону, а простые уравнения — преобразовывать формулу косинуса. Позже косинус пригодится в задачах на расстояния, наклоны и другие тригонометрические соотношения.

Что запомнить

• cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
• Косинус острого угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника.
• Гипотенуза всегда длиннее катета.
• По углу и гипотенузе можно найти прилежащий катет.
• По углу и прилежащему катету можно найти гипотенузу.
• Перед применением косинуса нужно определить, какой угол рассматривается.