§ 9. Косинус

Определения и обозначения

Косинус острого угла — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Записывают: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Это правило позволяет связать величину угла с длинами сторон и решать задачи, в которых одна из них неизвестна.

Прилежащий катет — катет, который образует данный острый угол. У прямоугольного треугольника два острых угла, поэтому один и тот же катет может быть прилежащим к одному из них, а другой катет — к другому. Чтобы верно составить отношение для косинуса, сначала нужно выбрать угол.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она длиннее каждого из двух катетов и не меняется при переходе от одного острого угла этого треугольника к другому. В формуле косинуса гипотенуза всегда стоит в знаменателе.

Значение косинуса — число, равное отношению прилежащего катета к гипотенузе. Например, если эти стороны равны 6 см и 10 см, то cos α = 6/10 = 0,6. Результат является числом без единиц измерения: сантиметры сокращаются при делении.

Как это устроено

Почему у угла есть определённое значение косинуса, хотя размеры треугольников могут различаться? Возьмём два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. Они подобны: у них есть равные прямой угол и угол α, а значит, равны и третьи углы. При подобии соответствующие стороны меняются во столько же раз, поэтому отношение прилежащего катета к гипотенузе остаётся тем же. Косинус зависит от величины угла, а не от размеров треугольника.

Чтобы определить стороны для вычисления, отметь, с каким именно острым углом работаешь. Найди прямой угол: напротив него расположена гипотенуза, и она не может быть прилежащим катетом. Из двух оставшихся сторон катет, который соединяется с выбранным углом, прилежит к нему; другой катет лежит напротив этого острого угла. Один и тот же треугольник даёт разные отношения для косинусов своих двух острых углов.

Косинус острого угла положителен, потому что длины сторон положительны. Он меньше единицы, так как прилежащий катет короче гипотенузы. Следовательно, для любого острого угла выполняется неравенство 0 < cos α < 1. Это помогает проверить ответ: отрицательное число или число не меньше единицы не может быть косинусом острого угла.

Из определения можно получить формулу для стороны. Если cos α = a/c, где a — прилежащий катет, а c — гипотенуза, то a = c · cos α. Чтобы найти гипотенузу, раздели прилежащий катет на косинус: c = a / cos α. Перед вычислением проверь, что в условии указана сторона, прилежащая именно к нужному углу; после вычисления оцени, не получился ли катет длиннее гипотенузы.

Точные значения для 30°, 45° и 60° можно получить из специальных треугольников. Если равнобедренный прямоугольный треугольник имеет катеты по 1, его гипотенуза равна √2, поэтому cos 45° = 1/√2 = √2/2. Если провести высоту в равностороннем треугольнике со стороной 2, она разделит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2 и катетами 1 и √3. Поэтому cos 60° = 1/2, а cos 30° = √3/2.

Основные значения косинуса острого угла

В таблице можно найти точный ответ или десятичное приближение, если оно требуется в задаче. Сначала сопоставь угол со столбцом, а затем выбери нужную форму записи. При проверке помни: косинус уменьшается от 1 к 0 при увеличении острого угла от 0° к 90°.

Разбор задач

Найти косинус по двум сторонам

Условие: в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а прилежащий к углу α катет — 6 см. Найдите cos α. Обе нужные стороны уже известны, поэтому достаточно подставить их в определение косинуса. Делить нужно именно прилежащий катет на гипотенузу.

1. Запишем формулу: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
2. Подставим длины: cos α = 6/10.
3. Сократим дробь или разделим: 6/10 = 0,6.

Ответ: cos α = 0,6. Проверка показывает, что результат положителен и меньше единицы, как и должен быть косинус острого угла.

Найти прилежащий катет

Условие: cos α = 0,8, гипотенуза равна 15 см. Найдите прилежащий катет. Здесь неизвестна сторона, а отношение уже дано, поэтому используем преобразованную формулу. Искомая сторона должна быть короче гипотенузы.

1. Обозначим прилежащий катет через a и запишем: cos α = a/15.
2. Выразим катет: a = 15 · cos α.
3. Подставим число: a = 15 · 0,8 = 12 см.

Ответ: 12 см. Полученное значение меньше 15 см, значит, оно подходит для катета прямоугольного треугольника.

Найти косинусы обоих острых углов

Условие: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите косинусы обоих острых углов. Сначала найдём гипотенузу, потому что без неё нельзя составить ни одно из отношений. Затем для каждого угла выберем прилежащий к нему катет.

1. По теореме Пифагора гипотенуза равна √(5² + 12²) = √169 = 13 см.
2. Для угла, прилежащего к катету 5 см, cos α = 5/13.
3. Для другого острого угла прилежащий катет равен 12 см, поэтому cos β = 12/13.

Ответ: косинусы острых углов равны 5/13 и 12/13. Каждый из них меньше единицы, а их числители различаются, потому что прилежащие катеты у двух углов разные.

Типичные ошибки

Иногда противолежащий катет принимают за прилежащий, потому что смотрят на треугольник в целом, а не относительно выбранного угла. Прилежащим является катет, который образует этот угол; противоположный ему катет к углу не прилегает. Проведи мысленно две стороны угла: одна из них будет катетом, другая — частью гипотенузы. Проверяй выбор для каждого острого угла отдельно.

Другая ошибка — делить прилежащий катет на второй катет. Такое отношение не является косинусом: в знаменателе по определению должна стоять гипотенуза. Путаница появляется, если не определить стороны до записи формулы. Найди гипотенузу как сторону напротив прямого угла и только потом составь дробь.

Бывает, что гипотенузу ставят в числитель, хотя она должна быть в знаменателе. Это нарушает определение косинуса и обычно даёт число больше единицы, ведь гипотенуза длиннее катета. Проверь порядок сторон в записи cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Если результат больше единицы, перепроверь, какую сторону ты поставил сверху.

Косинус острого угла не может быть отрицательным или больше единицы. Такие ответы получают, например, при ошибке в выборе сторон или при неправильном делении. Все стороны прямоугольного треугольника имеют положительные длины, а катет короче гипотенузы. Поэтому проверь, что полученное отношение лежит строго между 0 и 1.

Связь с другими темами

Для работы с косинусом нужно знать элементы прямоугольного треугольника и уметь отличать катет от гипотенузы. Подобие треугольников объясняет, почему отношение сторон зависит от угла, а не от масштаба фигуры. Теорема Пифагора помогает найти гипотенузу или катет, если известны две другие стороны.

Косинус применяют, когда требуется найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника или вычислить отношение сторон для данного угла. Вместе с синусом и тангенсом он образует набор тригонометрических отношений. Их изучение подготавливает решение более разнообразных геометрических задач с углами и сторонами.

Что запомнить

• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Гипотенуза всегда находится в знаменателе.
• Прилежащий катет выбирают относительно рассматриваемого угла.
• Для острого угла косинус положителен и меньше единицы.
• Значение косинуса не зависит от размеров прямоугольного треугольника.
• По косинусу можно находить сторону, а по известным сторонам — косинус угла.
• Для углов 30°, 45° и 60° существуют точные табличные значения косинуса.