6.1. Косинус

Определения и обозначения

Косинус угла — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей этому углу. Абсциссой называют координату точки по горизонтальной оси. Для углов от 0° до 180° угол откладывают от положительного направления оси абсцисс, поэтому косинус определён и для острых, и для прямых, и для тупых углов. Это определение позволяет описывать угол числом даже тогда, когда его нельзя рассматривать как угол прямоугольного треугольника.

Единичная окружность — окружность с центром в начале координат и радиусом 1. На ней каждой величине угла соответствует точка, полученная поворотом радиуса от положительного направления оси абсцисс. Радиус такой окружности равен единице, поэтому координаты точки сразу показывают, каково горизонтальное и вертикальное смещение от центра. Окружность нужна, чтобы единым способом задавать косинус для углов разной величины.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет образует угол α, а гипотенуза лежит напротив прямого угла. Такое отношение совпадает с абсциссой точки единичной окружности: радиус играет роль гипотенузы, а проекция радиуса на горизонтальную ось — катета. Поэтому школьное правило для треугольника согласуется с общим определением.

Как это устроено

Чтобы найти точку, соответствующую углу, помещают его вершину в начало координат, а одну сторону направляют вдоль положительной полуоси абсцисс. Вторую сторону угла поворачивают против часовой стрелки до нужного положения. Там, где она пересекает единичную окружность, находится соответствующая точка. Так угол превращается в точку, положение которой можно описать координатами.

Косинус равен абсциссе этой точки, потому что именно горизонтальная координата показывает её смещение вправо или влево от начала координат. На окружности радиуса 1 точка не может оказаться дальше единицы от центра, поэтому её абсцисса не бывает больше 1 или меньше −1. Отсюда следует граница значений −1 ≤ cos α ≤ 1. Ордината точки отвечает за вертикальное смещение и относится к синусу, а не к косинусу.

При угле 0° радиус направлен вправо, поэтому точка имеет координаты (1; 0), а её абсцисса равна 1. При повороте на 90° точка оказывается сверху, в координатах (0; 1), и косинус равен 0. При угле 180° радиус направлен влево, точка имеет координаты (−1; 0), значит, cos 180° = −1. Эти значения можно получить непосредственно из расположения точек на осях.

Углы α и 180° − α дают точки, зеркально расположенные относительно оси ординат. При отражении вертикальная координата сохраняется, а горизонтальная меняет знак: точка с абсциссой cos α переходит в точку с абсциссой −cos α. Поэтому cos(180° − α) = −cos α. Например, косинус 150° равен минус косинусу 30°.

Для острого угла прямоугольного треугольника можно провести окружность радиуса, равного гипотенузе, с центром в вершине угла. Горизонтальная проекция гипотенузы тогда равна прилежащему катету, поэтому отношение этой проекции к радиусу совпадает с отношением катета к гипотенузе. Если уменьшить все длины в одинаковое число раз, гипотенуза станет равна 1, а её проекция — абсцисса точки единичной окружности. Так отношение сторон и определение через координаты дают одно и то же значение.

Косинус углов от 0° до 180°

Найдите в верхней строке нужный угол, а затем прочитайте косинус в той же колонке. Строка со знаком помогает проверить, верно ли учтено положение угла: после 90° косинус отрицателен. Для углов, дополняющих друг друга до 180°, значения равны по модулю, но имеют противоположные знаки.

Разбор задач

Найдите cos 60° по определению косинуса на единичной окружности.

По определению нужно найти абсциссу точки окружности, соответствующей углу 60°. Угол острый, и его сторона пересекает окружность в первой четверти, поэтому искомая абсцисса положительна. Чтобы определить её точное значение, можно рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и острым углом 60°. Его прилежащий катет к этому углу совпадает с абсциссой точки.

1. Радиус единичной окружности равен 1, значит, гипотенуза треугольника равна 1.
2. Прилежащий к углу 60° катет равен половине гипотенузы: 1/2.
3. Абсцисса точки равна этому катету, следовательно, cos 60° = 1/2.

Ответ: cos 60° = 1/2. Проверка по таблице даёт то же значение. Положительный знак согласуется с тем, что точка лежит справа от оси ординат.

Известно, что cos 30° = √3/2. Найдите cos 150°.

Углы 30° и 150° дополняют друг друга до 180°: 150° = 180° − 30°. Точки, соответствующие этим углам, зеркально расположены относительно оси ординат. Поэтому их абсциссы противоположны по знаку, хотя равны по модулю.

1. Запишем 150° как 180° − 30°.
2. Применим формулу cos(180° − α) = −cos α.
3. Подставим известное значение: cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

Ответ: cos 150° = −√3/2. Отрицательный знак ожидаем, потому что угол 150° тупой, а соответствующая точка находится слева от оси ординат. Значение по модулю совпадает с cos 30°.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а прилежащий к углу α катет — 6. Найдите cos α и определите, может ли такой косинус соответствовать тупому углу.

Сначала применим определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника: отношение прилежащего катета к гипотенузе. По данным задачи получим положительное число 6/10. Затем проверим, возможно ли это значение для тупого угла: у тупого угла косинус отрицателен, так как точка на окружности находится слева от вертикальной оси.

1. Запишем отношение сторон: cos α = 6/10.
2. Сократим дробь: cos α = 3/5 = 0,6.
3. Число 0,6 положительно, поэтому косинус тупого угла ему соответствовать не может.

Ответ: cos α = 0,6; тупому углу такое значение соответствовать не может. Отношение сторон прямоугольного треугольника в этой задаче относится к его острому углу. Знак косинуса служит дополнительной проверкой результата.

Типичные ошибки

Путать абсциссу с ординатой. Иногда косинус принимают за вертикальную координату, потому что обе координаты описывают точку окружности. Но косинус — горизонтальная координата, а вертикальная связана с синусом. Проверьте себя по углу 90°: точка находится сверху, её абсцисса равна нулю, значит, cos 90° = 0.

Оставлять косинус тупого угла положительным. Так происходит, если помнить значение по модулю, но не учитывать, где находится точка. Для угла больше 90° и меньше 180° точка лежит слева от оси ординат, поэтому абсцисса отрицательна. Проверьте знак по положению точки или по правилу cos(180° − α) = −cos α.

Применять отношение катета к гипотенузе к тупому углу. Формула cos α = прилежащий катет / гипотенуза относится к острому углу прямоугольного треугольника. Её ошибочно переносят на тупой угол, забывая, что угол прямоугольного треугольника не может быть тупым. Если угол тупой, пользуйтесь определением через единичную окружность и учитывайте отрицательный знак.

Считать, что cos(180° − α) = cos α. Ошибка возникает из-за того, что соответствующие углы одинаково удалены от 90°. Однако их точки симметричны относительно оси ординат, а при таком отражении абсцисса меняет знак. Проверка на примере даёт cos 150° = −cos 30°, а не cos 30°.

Связь с другими темами

Для работы с косинусом нужны координаты точки на плоскости и представление о прямоугольном треугольнике: они помогают понимать абсциссу и отношение его сторон. Позже косинус будет изучаться вместе с синусом и другими тригонометрическими соотношениями. Эти понятия помогают вычислять неизвестные элементы треугольников; например, косинус входит в теорему косинусов, применяемую для нахождения сторон и углов.

Что запомнить

• Косинус угла на единичной окружности — абсцисса соответствующей точки.
• Для острого угла прямоугольного треугольника cos α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Значения косинуса лежат от −1 до 1.
• cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = −1.
• Косинус острого угла положителен, прямого равен нулю, тупого отрицателен.
• cos(180° − α) = −cos α.