§ 6. Скалярное умножение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ. Здесь φ — угол между векторами, а вертикальные черты обозначают длину вектора. Произведение называют скалярным, потому что его результат — число, а не новый вектор. Оно помогает связывать вычисления с геометрическим расположением векторов.

Угол между векторами — угол от 0° до 180°, образованный их сонаправленными представителями, отложенными из одной точки. Представитель — вектор с теми же направлением и длиной, что и исходный; его можно перенести параллельно самому себе. Так угол определяется даже для векторов, которые изначально приложены в разных местах. Это позволяет использовать одну и ту же формулу для любых векторов.

Ортогональные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°. Для ненулевых векторов их скалярное произведение равно нулю, поскольку cos 90° = 0. Обратно, если произведение двух ненулевых векторов равно нулю, угол между ними прямой. Поэтому по вычисленному числу можно проверить перпендикулярность.

Скалярное произведение векторов в координатах — сумма произведений соответствующих координат: для векторов (x₁; y₁) и (x₂; y₂) это x₁x₂ + y₁y₂. Соответствующими называют координаты, стоящие на одинаковых местах: первую умножают на первую, вторую — на вторую. Формула позволяет обойтись без непосредственного построения угла. Она особенно удобна, когда координаты уже заданы.

Как это устроено

Длины векторов — числа, и косинус угла тоже число, поэтому их произведение даёт число. Косинус отражает, насколько направления векторов совпадают: он положителен для острого угла, равен нулю для прямого и отрицателен для тупого. Длины положительны, поэтому знак всего произведения определяется именно косинусом. Так знак скалярного произведения сообщает о характере угла.

Координатная формула возникает из геометрической, если рассмотреть проекции векторов на оси координат. Проекция показывает, какую составляющую вектора даёт его направление вдоль выбранной оси; в координатах эти составляющие записаны числами x и y. Вклад вдоль каждой оси равен произведению соответствующих координат, а общий вклад складывается: x₁x₂ + y₁y₂. Поэтому координатная формула вычисляет то же геометрическое произведение, не требуя отдельно находить угол.

Скалярное произведение переместительно: a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗, потому что в геометрической формуле произведение длин и косинус угла не меняются при обмене векторов. Оно распределительно относительно сложения: (a⃗ + b⃗) · c⃗ = a⃗ · c⃗ + b⃗ · c⃗, что согласуется с раскрытием скобок в координатной формуле. Числовой множитель можно вынести: (ka⃗) · b⃗ = k(a⃗ · b⃗). Эти свойства упрощают вычисления, когда векторы записаны через суммы или множители.

Чтобы найти угол, сначала вычисляют скалярное произведение, затем делят его на произведение длин: cos φ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|). После этого по значению косинуса определяют угол от 0° до 180°. Длины обоих векторов должны быть ненулевыми: у нулевого вектора нет направления, а значит, угол с ним не определён. Для проверки перпендикулярности достаточно проверить, равно ли произведение нулю.

Если умножить вектор на себя, угол между ним и самим собой равен 0°, а cos 0° = 1. Поэтому a⃗ · a⃗ = |a⃗||a⃗| = |a⃗|². Для вектора с координатами (x; y) координатная формула даёт x² + y², что совпадает с квадратом длины. Эта связь позволяет находить длину через координаты и проверять вычисления.

Скалярное произведение: геометрическая и координатная формулы, свойства

Если известны длины и угол, пользуйтесь геометрической формулой; если заданы координаты — координатной. Свойства помогают преобразовать выражение перед вычислением, а равенство нулю служит проверкой перпендикулярности ненулевых векторов. Для нахождения угла после вычисления произведения нужно отдельно знать длины обоих векторов.

Разбор задач

Задача 1. Найдите скалярное произведение векторов длиной 5 и 4, если угол между ними равен 60°. Даны обе длины и угол, поэтому искать координаты или строить чертёж не требуется. Подставим данные в геометрическую формулу и вычислим косинус известного угла.

1. Запишем формулу: a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ.
2. Подставим значения: a⃗ · b⃗ = 5 · 4 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получим 20 · ½ = 10.

Ответ: 10. Результат положителен, что согласуется с острым углом 60°.

Задача 2. Вычислите скалярное произведение a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (4; 1), затем определите, острый или тупой угол они образуют. Используем координатную формулу: она учитывает знаки координат, поэтому важно умножать числа со знаками. Знак полученного произведения определит вид угла.

1. Перемножим соответствующие координаты и сложим: a⃗ · b⃗ = 2 · 4 + (−3) · 1.
2. Вычислим: 8 − 3 = 5.
3. Поскольку произведение положительно, угол между векторами острый.

Ответ: скалярное произведение равно 5, угол острый. Здесь достаточно знака результата: точное значение угла находить не требуется.

Задача 3. Найдите угол между a⃗ = (1; √3) и b⃗ = (√3; 1). Чтобы определить угол, сначала найдём произведение по координатам, затем вычислим длины и выразим косинус. Оба вектора ненулевые, поэтому деление на произведение их длин допустимо.

1. Вычислим произведение: a⃗ · b⃗ = 1 · √3 + √3 · 1 = 2√3.
2. Найдём длины: |a⃗| = √(1² + (√3)²) = 2 и |b⃗| = √((√3)² + 1²) = 2.
3. Подставим в формулу cos φ = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|): cos φ = 2√3/4 = √3/2.
4. Такому значению косинуса соответствует угол 30°.

Ответ: 30°. Проверка знака тоже согласуется с результатом: косинус положителен, значит, угол острый.

Типичные ошибки

Путать скалярное произведение с векторным — значит ожидать на выходе вектор. Так происходит из-за слова «умножение», которое встречается в разных операциях с векторами. Проверьте, что в ответе записано число, например 5 или 0, а не пара координат. По определению скалярное произведение всегда является числом.

В геометрической формуле иногда забывают cos φ или подставляют угол, который не относится к данным векторам. Тогда вычисляется просто произведение длин, и ответ может оказаться неверным. Перед подстановкой запишите полную формулу и убедитесь, что φ — угол между именно этими векторами. Если угол острый, результат должен быть положительным, а если тупой — отрицательным.

При вычислении по координатам легко потерять минус: например, произведение (−3) · 1 равно −3, а не 3. Ошибка возникает, если перемножать только модули координат или складывать их вместо произведений соответствующих пар. Записывайте каждый множитель со знаком и группируйте вычисление: x₁x₂ + y₁y₂. В конце можно оценить знак результата по знакам слагаемых.

Нулевое скалярное произведение не всегда означает угол 90°: если один из векторов нулевой, угол с ним не определён. Нулевой результат часто сразу связывают с перпендикулярностью, забывая проверить это условие. Сначала убедитесь, что оба вектора ненулевые, и только затем применяйте признак перпендикулярности. При координатах длина нулевая лишь тогда, когда обе координаты равны нулю.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты и длина вектора, действия с векторами, понятие угла между ними и значения косинусов основных углов. Координатная формула опирается на умножение и сложение чисел, а геометрическая — на связь косинуса с углом. Поэтому перед решением полезно проверить, умеете ли вы находить длину по координатам и узнавать косинусы знакомых углов.

Скалярное произведение используют, чтобы находить углы и проверять перпендикулярность без измерений на чертеже. В аналитической геометрии оно помогает изучать взаимное расположение направлений и решать задачи с координатами. В физике похожее вычисление встречается, например, при описании работы силы, когда учитывается направление движения. Так геометрическая идея становится инструментом для вычислений в разных разделах.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos φ.
• В координатах на плоскости (x₁; y₁) · (x₂; y₂) = x₁x₂ + y₁y₂.
• a⃗ · a⃗ = |a⃗|².
• Для ненулевых векторов скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
• Положительное скалярное произведение соответствует острому углу, отрицательное — тупому.