"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Метод координат позволяет перевести геометрическую задачу на язык алгебры: точкам сопоставляют пары чисел, а условия о фигурах записывают уравнениями. Так можно определить, принадлежит ли точка окружности или прямой, составить уравнение фигуры и найти общие точки двух фигур. Главное — понимать смысл параметров: центр и радиус окружности задают её уравнение, а угловой коэффициент и точка определяют прямую. Решение часто сводится к подстановке координат и решению уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод координат — способ решать геометрические задачи, задавая точки координатами и выражая условия уравнениями. Вместо рассуждений только о длинах и положении фигур можно вычислять значения по формулам. Метод нужен, чтобы находить неизвестные точки и проверять геометрические предположения.
Уравнение окружности — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек окружности и только они. Например, подстановка координат точки в уравнение позволяет проверить, лежит ли она на окружности. Это также способ описать окружность через положение её центра и длину радиуса.
Уравнение прямой — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек прямой и только они. Если координаты точки делают равенство верным, точка принадлежит прямой. Уравнение помогает задать прямую и находить её общие точки с другими фигурами.
Угловой коэффициент прямой — число, обозначаемое k, которое показывает изменение координаты y при увеличении координаты x на единицу. По знаку и величине k можно судить о наклоне прямой. Этот коэффициент позволяет записать уравнение прямой, даже если известна только одна её точка и направление.
Геометрическое условие становится алгебраическим, когда координаты подставляют в формулу, выражающую это условие. Например, расстояние между точками с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Если известна длина отрезка, приравнивают это выражение к длине; если нужна середина, усредняют координаты концов: ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Так можно перевести сведения о длинах и серединах в уравнения для неизвестных координат.
Уравнение окружности следует из условия, что любая её точка находится от центра на расстоянии R. Пусть центр имеет координаты O(a; b), а точка окружности — (x; y); формула расстояния даёт √((x − a)² + (y − b)²) = R. Возведя обе части в квадрат, получаем (x − a)² + (y − b)² = R². Поэтому координаты центра в скобках вычитаются, а радиус справа обязательно возводится в квадрат.
Общий вид прямой с угловым коэффициентом — y = kx + b. Если x увеличивается на единицу, выражение kx меняется на k, поэтому k определяет наклон: положительный коэффициент соответствует подъёму слева направо, отрицательный — спуску. При x = 0 остаётся y = b, значит, b — ордината точки пересечения с осью y. Например, прямая y = 2x + 3 пересекает ось y в точке (0; 3) и поднимается на 2 единицы при каждом шаге вправо на 1.
Чтобы задать прямую через точку (x₀; y₀) с коэффициентом k, используют связь между изменениями координат: при переходе от заданной точки к любой другой на прямой изменение y равно k, умноженному на изменение x. Поэтому y − y₀ = k(x − x₀). Формула удобна, когда известны точка и направление прямой, но не известна точка пересечения с осью y. Если заданы две точки с разными координатами x, коэффициент находят как отношение разности их y к разности их x.
Взаимное положение прямой и окружности исследуют, решая их уравнения совместно: координаты общей точки должны удовлетворять обоим условиям. Обычно выражение y из уравнения прямой подставляют в уравнение окружности и получают квадратное уравнение относительно x. Два различных действительных корня дают две точки пересечения, один корень — одну общую точку, действительных корней нет — общих точек нет. После нахождения x подставляют его в уравнение прямой и вычисляют соответствующее y.
| Фигура | Уравнение | Что задают параметры | Как проверить принадлежность точки |
|---|---|---|---|
| Окружность с центром (a; b) и радиусом R | (x − a)² + (y − b)² = R² | a и b — координаты центра; R — радиус | Подставить координаты точки вместо x и y; равенство должно быть верным |
| Прямая с угловым коэффициентом k и ординатой пересечения с осью y b | y = kx + b | k — наклон; b — ордината точки пересечения с осью y | Подставить координаты точки; левая и правая части должны совпасть |
| Прямая через точку (x₀; y₀) с угловым коэффициентом k | y − y₀ = k(x − x₀) | (x₀; y₀) — точка прямой; k — наклон | Подставить x и y точки в равенство |
В таблице сначала определите, какая фигура задана и какие её параметры известны. Затем выберите соответствующий вид уравнения и подставьте параметры, не меняя их смысл. Для проверки точки используйте обе её координаты одновременно и убедитесь, что получилось верное равенство.
Задача 1. Запишите уравнение окружности с центром (2; −1) и радиусом 3. Нужно использовать стандартный вид, где координаты центра входят в скобки со знаками минус, а справа записан квадрат радиуса.
Ответ: (x − 2)² + (y + 1)² = 9. Центр действительно имеет координату y = −1, потому что в скобке стоит y + 1.
Задача 2. Найдите уравнение прямой, проходящей через A(1; 2) и B(3; 6). Сначала нужно узнать, насколько меняется y при изменении x, а затем составить уравнение прямой, проходящей через известную точку.
Ответ: y = 2x. Проверка обеих заданных точек подтверждает, что они лежат на найденной прямой.
Задача 3. Найдите точки пересечения прямой y = x + 1 и окружности x² + y² = 25. В общей точке координаты обязаны одновременно удовлетворять обоим уравнениям, поэтому выразим y через x и подставим.
Ответ: точки пересечения — (−4; −3) и (3; 4). Два корня квадратного уравнения дали две общие точки.
Первая ошибка — перепутать знаки координат центра в уравнении окружности. Её допускают, потому что в скобках стоит разность координат точки и центра: при центре (2; −1) записывается (x − 2)² + (y + 1)². Для самопроверки прочитайте каждую скобку как «координата точки минус координата центра».
Вторая ошибка — записать справа радиус R, а не R². Это происходит, если забыть, что формулу расстояния возводят в квадрат, чтобы убрать квадратный корень. Проверьте размер правой части: при радиусе 3 там должно быть 9, а не 3.
Третья ошибка — считать b в уравнении y = kx + b наклоном прямой. Число b отвечает за значение y при x = 0, а наклон задаёт k; смешать их легко из-за того, что оба числа стоят в одной формуле. Подставьте x = 0: полученное значение y сразу показывает роль b, а изменение y при шаге x на единицу показывает роль k.
Четвёртая ошибка — подставить координаты точки в обратном порядке или проверить только одно уравнение при поиске пересечения. Так точка может показаться подходящей, хотя не лежит на одной из фигур. Сверяйте, что первая координата подставлена вместо x, вторая — вместо y, и проверяйте равенства всех уравнений системы.
Для метода координат нужны навыки работы с координатной плоскостью, вычисления расстояния между точками, решения линейных и квадратных уравнений. Без них трудно перейти от условия о фигуре к уравнению и найти координаты искомых точек. Освоенный метод помогает исследовать, как расположены прямая и окружность, а позднее служит основой аналитической геометрии — раздела, где фигуры изучают с помощью координат и уравнений.
Почему в уравнении окружности координаты центра записаны со знаком минус?
Уравнение получается из расстояния от точки (x; y) до центра (a; b): √((x − a)² + (y − b)²) = R. Поэтому координаты центра вычитаются из координат произвольной точки. Если в уравнении стоит (x + 2)², то координата центра по оси x равна −2.
Как по уравнению окружности определить её центр и радиус?
Сравните уравнение с видом (x − a)² + (y − b)² = R². Координаты центра — (a; b), а радиус равен квадратному корню из числа справа. Например, из (x − 3)² + (y + 1)² = 16 получаем центр (3; −1) и радиус 4.
Что показывает угловой коэффициент прямой?
Коэффициент k показывает, на сколько изменится y, если x увеличить на единицу. При положительном k прямая поднимается слева направо, при отрицательном — опускается. Чем больше |k|, тем круче наклон.
Как составить уравнение прямой, если известны две её точки?
Сначала найдите угловой коэффициент: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), если x₂ ≠ x₁. Затем подставьте координаты одной точки в y − y₀ = k(x − x₀) и упростите. Если у точек одинаковые координаты x, прямая вертикальная и задаётся уравнением x = x₀.
Как определить по уравнениям, пересекаются ли прямая и окружность?
Подставьте выражение для y из уравнения прямой в уравнение окружности и решите полученное уравнение. Два решения означают две общие точки, одно — одну, а отсутствие действительных решений — что общих точек нет. Найденные значения нужно подставить в уравнение прямой, чтобы получить координаты точек.
5.4. Метод координат. Уравнения окружности и прямой
