5.3. Действия с векторами в координатной форме

Определения и обозначения

Координаты вектора — числа, задающие его проекции на координатные оси, то есть его составляющие вдоль этих осей. Вектор записывают как упорядоченную пару: a = (x; y), где x — первая координата, y — вторая. Такая запись позволяет работать с направлением и перемещением с помощью чисел. Порядок координат важен: первая всегда стоит перед второй.

Равные векторы — векторы с одинаковыми координатами: если a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), то a = b при x₁ = x₂ и y₁ = y₂. У них совпадают длины и направления, даже если они приложены к разным точкам. Это определение нужно, чтобы устанавливать равенство векторов без сравнения их положения на чертеже. Достаточно проверить обе координаты.

Сумма и разность векторов — новые векторы, координаты которых получают сложением или вычитанием соответствующих координат исходных векторов. Например, для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) сумма равна (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Такое правило превращает геометрические действия в вычисления. Оно помогает находить координаты результата, не строя чертёж.

Умножение вектора на число — действие, при котором обе координаты вектора умножают на один и тот же множитель. Если a = (x; y), то ka = (kx; ky). Это нужно, чтобы изменять длину вектора, а при отрицательном множителе — ещё и его направление. Обе координаты изменяются согласованно.

Как это устроено

В прямоугольной системе координат направление любого вектора можно разложить на две составляющие: вдоль горизонтальной и вертикальной осей. Первая координата показывает изменение по одной оси, вторая — по другой. Поскольку эти направления независимы, для задания вектора достаточно указать два числа. Поэтому координаты записывают парой и сохраняют их порядок во всех вычислениях.

При сложении векторов складываются их составляющие вдоль каждой оси. Представь, что первый вектор задаёт одно перемещение, а второй откладывают от его конца: общий путь по горизонтали равен сумме горизонтальных перемещений, и то же верно по вертикали. Это и есть координатное объяснение правила последовательного откладывания векторов. Правило параллелограмма приводит к тому же результату: диагональ имеет те же суммарные составляющие.

Вычитание можно понять как сложение с противоположным вектором. У противоположного вектора каждая координата имеет обратный знак, поэтому b = (x₂; y₂) превращается в −b = (−x₂; −y₂). Тогда a − b = a + (−b), то есть координаты равны (x₁ − x₂; y₁ − y₂). Так формула вычитания следует из уже понятного правила сложения.

При умножении на число каждая составляющая увеличивается или уменьшается в одинаковое число раз. Если множитель положительный, вектор сохраняет направление; если множитель отрицательный, обе составляющие меняют знак и вектор направляется в противоположную сторону. Длина меняется в |k| раз, где |k| — модуль числа k. При k = 0 обе координаты становятся нулём, и получается нулевой вектор.

Координатные правила дают тот же результат, что и геометрические действия, потому что описывают изменения вдоль тех же осей. Получив пару чисел, запиши её в порядке (первая координата; вторая координата) — это координаты итогового вектора. Чтобы проверить равенство двух результатов, сравни отдельно их первые и вторые координаты. Совпадение только одной из них ещё не означает равенства векторов.

Действия с векторами в координатах

Сначала определи, какое действие требуется, а затем примени соответствующую строку таблицы к координатам. В сложении и вычитании работай с координатами попарно, не меняя их порядок. Для равенства проверь оба условия одновременно.

Разбор задач

Даны a = (2; −3) и b = (4; 1). Найдите a + b. Здесь нужно сложить векторы, поэтому отдельно найдём сумму первых координат и сумму вторых. Такой порядок помогает не перепутать составляющие по разным осям.

1. Записываем координатное правило: a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂).
2. Подставляем данные: a + b = (2 + 4; −3 + 1).
3. Вычисляем: (2 + 4; −3 + 1) = (6; −2).

Ответ: a + b = (6; −2).

Даны a = (−1; 5) и b = (3; 2). Найдите a − b и 2a. Для разности вычитаем координаты b из соответствующих координат a. Для умножения на 2 удваиваем обе координаты вектора a, а не только одну.

1. Находим разность: a − b = (−1 − 3; 5 − 2) = (−4; 3).
2. Записываем умножение: 2a = (2 · (−1); 2 · 5).
3. Вычисляем координаты: 2a = (−2; 10).

Ответ: a − b = (−4; 3), 2a = (−2; 10).

Найдите x и y, если 3a − b = (7; −2), a = (x; 1), b = (2; y). Сначала выразим координаты левой части через x и y. Затем сравним соответствующие координаты с правой частью: равные векторы должны иметь одинаковые первые и одинаковые вторые координаты.

1. Умножаем a на 3: 3a = (3x; 3).
2. Вычитаем b: 3a − b = (3x − 2; 3 − y).
3. Приравниваем координаты: 3x − 2 = 7 и 3 − y = −2.
4. Решаем уравнения: 3x = 9, значит x = 3; −y = −5, значит y = 5.

Ответ: x = 3, y = 5. Проверка: 3a − b = (9 − 2; 3 − 5) = (7; −2), как и задано.

Типичные ошибки

• Иногда координаты складывают или вычитают крест-накрест: первую одного вектора со второй другого. Так делают, когда теряют из виду соответствие осей. Проверяй, что первые координаты действуют только с первыми, а вторые — только со вторыми.

• При умножении на число можно изменить лишь одну координату, потому что множитель ошибочно относят только к одной части записи. Но он умножает весь вектор, то есть каждую его составляющую. Для самопроверки раскрой скобки: и первая, и вторая координата должны содержать множитель.

• Запись результата в порядке (y; x) меняет смысл пары, даже если сами числа верны. Обычно так происходит, если при вычислении переставить координаты местами. Сверяй ответ с исходным порядком: сначала первая координата, затем вторая.

• Совпадение только одной координаты иногда принимают за равенство векторов. Но одна одинаковая составляющая не гарантирует совпадения второй, а значит, векторы могут отличаться направлением или длиной. Проверяй обе координаты попарно и считай векторы равными только при двух совпадениях.

Связь с другими темами

Для работы с векторами в координатах нужны знания о координатной плоскости и координатах точек, а также умение записывать вектор парой чисел. Геометрические правила сложения и вычитания объясняют, почему координатные формулы устроены именно так. Эти вычисления пригодятся в задачах на векторы и координаты точек. С их помощью также проверяют и доказывают геометрические соотношения.

Что запомнить

• Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
• При сложении векторов координаты складывают попарно.
• При вычитании векторов координаты вычитают попарно.
• При умножении вектора на число на него умножают каждую координату.
• Отрицательный множитель меняет направление вектора на противоположное.
• Результат действия записывают в том же порядке координат.