5.2. Векторы на координатной плоскости

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть начало и конец. Его обозначают одной строчной буквой со стрелкой, например a⃗, или двумя заглавными буквами со стрелкой, например AB⃗. Стрелка показывает, от какой точки к какой направлен отрезок. Вектор нужен, чтобы описывать перемещение и сравнивать такие перемещения.

Координаты вектора — числа, показывающие его горизонтальную и вертикальную составляющие; запись (x; y) означает, что вектор перемещает на x единиц по горизонтали и на y единиц по вертикали. Знаки чисел задают направления этих перемещений: отрицательное значение означает движение влево или вниз. Координаты позволяют работать с векторами вычислениями, а не только по рисунку.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его координаты равны (0; 0), потому что перемещения ни по одной из осей нет. Нулевой вектор полезен, например, когда результат сложения нескольких векторов не даёт общего перемещения.

Длина вектора — расстояние между его началом и концом. Если координаты вектора равны (x; y), длину находят по формуле √(x² + y²). Эта величина показывает размер перемещения независимо от того, в какую сторону направлен вектор.

Как это устроено

Пусть начало вектора находится в точке A(x₁; y₁), а конец — в точке B(x₂; y₂). Чтобы узнать горизонтальное перемещение, сравнивают координаты x: оно равно x₂ − x₁; вертикальное перемещение равно y₂ − y₁. Поэтому координаты AB⃗ записываются как (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Если поменять порядок вычитания, получится перемещение из B в A, то есть противоположный вектор.

Равенство векторов определяется не тем, где они нарисованы, а тем, одинаковы ли их длина и направление. Перенос направленного отрезка параллельно самому себе не меняет ни длину, ни направление. Поэтому равные векторы имеют одни и те же координаты: они задают одинаковые горизонтальную и вертикальную составляющие. Это позволяет сравнивать векторы, даже если их начала находятся в разных точках.

Координаты одновременно сообщают о направлении и помогают найти длину. Знак каждой координаты показывает, в какую сторону направлена соответствующая составляющая, а её модуль — насколько далеко нужно переместиться по этой оси. Горизонтальная и вертикальная составляющие перпендикулярны, поэтому вместе с вектором образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).

При сложении сначала можно отложить второй вектор от конца первого: получившийся вектор ведёт из начала первого к концу второго. Горизонтальное общее перемещение складывается из горизонтальных составляющих, а вертикальное — из вертикальных, поэтому координаты складывают по соответствующим местам. Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором: b⃗ имеет противоположный вектор (−x₂; −y₂), если b⃗ = (x₂; y₂). Отсюда a⃗ − b⃗ = (x₁ − x₂; y₁ − y₂), что согласуется с геометрическим правилом.

Умножение вектора на число k умножает каждую его составляющую на k. При положительном k направление сохраняется, а при отрицательном обе составляющие меняют знак, поэтому вектор направлен в противоположную сторону. Длина при этом умножается на модуль числа: |k| раз; модуль нужен потому, что длина не бывает отрицательной. Если k = 0, любой вектор превращается в нулевой.

Векторы на координатной плоскости: основные правила

При вычислениях найдите подходящую строку и действуйте с координатами по правилу из третьего столбца. Сначала удобно записать исходные координаты векторов, а затем отдельно выполнить действие с первой и второй координатами. Для длины применяют отдельную формулу, а не правила сложения.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(−2; 1) и B(3; 4). Найдите координаты и длину вектора AB⃗. Сначала нужно определить, насколько изменились координаты при переходе от A к B. Затем длину найденного вектора можно вычислить по формуле через сумму квадратов его координат.

1. Вычтем координаты начала A из координат конца B: 3 − (−2) = 5 и 4 − 1 = 3. Значит, AB⃗ = (5; 3). Положительные координаты показывают перемещение вправо и вверх.
2. Подставим координаты в формулу длины: |AB⃗| = √(5² + 3²). Получаем √(25 + 9) = √34. Корень из 34 можно оставить точным значением, поскольку он не извлекается нацело.

Ответ: AB⃗ = (5; 3), |AB⃗| = √34.

Задача 2. Даны векторы a⃗ = (2; −3) и b⃗ = (−1; 5). Найдите a⃗ + b⃗ и a⃗ − b⃗. В обоих действиях нужно работать с координатами, стоящими на одинаковых местах. Особенно внимательно проследим за знаками отрицательных чисел.

1. Для суммы складываем первые координаты между собой, затем вторые: 2 + (−1) = 1 и −3 + 5 = 2. Получаем a⃗ + b⃗ = (1; 2). Результат показывает суммарное перемещение по каждой оси.
2. Для разности вычитаем координаты b⃗ из соответствующих координат a⃗: 2 − (−1) = 3 и −3 − 5 = −8. Следовательно, a⃗ − b⃗ = (3; −8). Вычитание отрицательной координаты в первом вычислении превращается в сложение.

Ответ: a⃗ + b⃗ = (1; 2), a⃗ − b⃗ = (3; −8).

Задача 3. Найдите k, если a⃗ = (k; 6), b⃗ = (2; 4) и a⃗ = 1,5b⃗. Условие означает, что обе координаты a⃗ должны получиться умножением соответствующих координат b⃗ на 1,5. Поэтому нужно проверить не только координату с неизвестным, но и координату 6.

1. Умножим b⃗ на 1,5: 1,5b⃗ = (1,5 · 2; 1,5 · 4) = (3; 6). Полученные координаты должны совпасть с координатами a⃗ = (k; 6). Вторая координата действительно совпадает с условием.
2. Сравним первые координаты: k = 3. Проверка даёт a⃗ = (3; 6) и 1,5b⃗ = (3; 6), значит, равенство верно целиком. Если бы вторая координата не совпала, подходящего значения k не существовало бы.

Ответ: k = 3.

Типичные ошибки

При нахождении координат вектора иногда вычитают координаты конца из координат начала. Тогда получается вектор противоположного направления, потому что порядок точек задаёт направление перемещения. Чтобы проверить себя, мысленно пройдите от начала к концу: для движения вправо разность координат x должна быть положительной. Всегда записывайте сначала координаты конца, затем начала.

Координаты точки и координаты вектора — не одно и то же. У точки это её положение относительно начала координат, а у вектора — изменение положения при перемещении. Их путают, когда просто переписывают координаты конечной точки вместо вычисления разности. Проверка простая: для координат вектора должны быть известны и начало, и конец, а при совпавших точках результатом будет (0; 0).

Длину порой находят как сумму модулей координат или как их разность. Но координаты задают перпендикулярные составляющие, поэтому для длины нужен квадратный корень из суммы их квадратов: √(x² + y²). Ошибка возникает, если забыть теорему Пифагора или принять составляющие за части одного прямого отрезка. Проверить ответ можно оценкой: длина не может быть меньше модуля любой из координат.

При сложении векторов нельзя складывать координаты крест-накрест и нельзя терять знак минус. Каждая координата складывается только с координатой на том же месте, потому что они описывают перемещения вдоль одной и той же оси. Ошибки со знаками часто появляются при спешке, особенно в выражениях вроде −3 − 5. Запишите вычисления по осям отдельно и проверьте, что результат по x стоит первым, а по y — вторым.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны координаты точки, формула расстояния между точками и теорема Пифагора: последняя объясняет формулу длины. Координатные векторы помогают описывать параллельность и перпендикулярность, а позже — разбирать скалярное произведение и уравнения прямой. В физике векторами изображают перемещение, скорость и силу, потому что у этих величин важны и размер, и направление. Координатная запись превращает такие задачи в вычисления по составляющим.

Что запомнить

• Координаты вектора равны координатам конца минус координаты начала.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• Длина вектора (x; y) равна √(x² + y²).
• При сложении и вычитании векторов соответствующие координаты складывают или вычитают.
• При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
• Нулевой вектор имеет координаты (0; 0) и длину 0.