5.1. Векторы на координатной оси

Определения и обозначения

Вектор на координатной оси — направленный отрезок, лежащий на этой оси. В отличие от обычного отрезка, он задаёт не только расстояние между концами, но и направление от начала к концу. Поэтому у отрезка AB и вектора AB одинаковые концы, но только вектор показывает перемещение именно из A в B. Это различие помогает учитывать, куда направлено движение.

Координата вектора AB — число x_B − x_A, где x_A и x_B — координаты начала A и конца B. Она показывает, насколько и в какую сторону изменилось положение при движении от A к B. Например, положительный результат соответствует движению вправо, а отрицательный — влево. По координате удобно описывать вектор одним числом.

Длина вектора — неотрицательная величина, равная модулю его координаты. Если координата вектора равна −4, его длина равна 4, а не −4. Модуль убирает знак направления и оставляет величину перемещения. Так можно отдельно говорить о том, куда направлен вектор и какова его длина.

Равные векторы на оси имеют одинаковые координаты, а противоположные векторы — координаты, отличающиеся только знаком. Равенство означает одинаковое перемещение, даже если векторы начинаются в разных точках. Противоположные векторы направлены в разные стороны, но имеют одинаковую длину. Эти признаки позволяют сравнивать векторы без привязки к их расположению.

Как это устроено

Координаты начала и конца задают перемещение через разность: из положения, в котором мы оказались, вычитаем исходное положение. Поэтому для вектора AB записывают x_B − x_A, а не сумму координат точек. Если A(−2), а B(3), перемещение составляет 3 − (−2) = 5 единиц. Такой способ работает и тогда, когда обе координаты отрицательные.

Знак координаты зависит от того, в какую сторону изменяется положение на оси. При движении вправо конечная координата больше начальной, значит, разность x_B − x_A положительна; при движении влево она отрицательна. Если начало и конец совпали, разность равна нулю, и перемещения нет. Поэтому знак не является случайной частью записи: он сообщает направление.

Длина не может быть отрицательной, потому что это расстояние, а расстояние не задаёт направление. Координата же содержит знак, который нужен для описания движения, поэтому длину находят, беря модуль координаты. Например, перемещения на 6 единиц вправо и на 6 единиц влево имеют разные координаты 6 и −6, но одинаковую длину 6. Так модуль отделяет величину перемещения от его направления.

Действия над векторами на одной оси сводятся к действиям над их координатами. Чтобы сложить два перемещения, достаточно сложить их числовые координаты: смещения вправо и влево частично компенсируют друг друга. Для разности координаты вычитают в заданном порядке, а при умножении вектора на число координату также умножают на это число. Например, умножение на −1 меняет направление вектора, поскольку меняет знак координаты.

Сравнивать векторы можно по координатам, потому что число уже содержит сведения о направлении и величине перемещения. Совпавшие координаты означают равные векторы, а координаты, противоположные по знаку и равные по модулю, — противоположные. Например, координаты 4 и 4 дают равные векторы, а 4 и −4 — противоположные. Точки приложения могут быть разными: для сравнения важны координаты векторов, а не место, где они нарисованы.

Связь вектора на оси с его координатой

Сначала определите, какое действие выполняется с векторами, а затем примените соответствующее правило к их координатам. Для длины после нахождения координаты возьмите модуль. При сложении и вычитании сохраняйте знаки чисел и порядок действий.

Разбор задач

Задача 1. На координатной оси даны точки A(−3) и B(4). Найдите координату и длину вектора AB. Начало вектора находится в A, а конец — в B, поэтому важно вычитать координату A из координаты B. После нахождения координаты длину получим по её модулю.

1. Запишем формулу: координата AB равна x_B − x_A. Здесь x_A = −3, x_B = 4.
2. Подставим числа: 4 − (−3) = 4 + 3 = 7. Положительный знак показывает, что перемещение направлено вправо.
3. Найдём длину: |7| = 7. Знак для длины значения не имеет, так как длина неотрицательна.

Ответ: координата вектора AB равна 7, длина — 7.

Задача 2. Вектор a имеет координату −5, а вектор b — 2. Найдите координаты векторов a + b и a − b. Действия с векторами заменим действиями с их координатами. Отрицательная координата a сохраняет свой знак при подстановке.

1. Для суммы складываем координаты: −5 + 2 = −3. Два перемещения частично компенсируются, но общий результат направлен влево.
2. Для разности вычитаем координату b из координаты a: −5 − 2 = −7. Порядок важен: это координата a минус координата b.
3. Проверим знаки: при сложении отрицательного и положительного числа получаем разность модулей со знаком числа −5; при вычитании положительного числа результат становится ещё меньше.

Ответ: координата a + b равна −3, координата a − b равна −7.

Задача 3. Векторы a и b заданы координатами 3 и x. Найдите x, если вектор 2a − b имеет координату 1, и определите, равны ли a и b. Сначала запишем координату линейного выражения через координаты исходных векторов. Затем решим уравнение и сравним полученные координаты a и b.

1. Координата 2a равна 2 · 3 = 6, а координата b равна x. Поэтому координата 2a − b равна 6 − x.
2. По условию 6 − x = 1. Отсюда x = 5, так как из 6 нужно вычесть 5, чтобы получить 1.
3. Теперь сравним координаты: у a координата 3, у b — 5. Они не совпадают, поэтому векторы не равны.

Ответ: x = 5; векторы a и b не равны.

Типичные ошибки

Иногда вычитают координату конца из координаты начала и получают x_A − x_B. Так происходит, если забыть, что движение идёт от A к B. Проверка проста: подставьте координаты в формулу x_B − x_A и оцените направление — при движении вправо результат должен быть положительным.

Отрицательную координату могут ошибочно принять за отрицательную длину. Причина в том, что знак координаты переносят на расстояние, хотя он показывает направление. Чтобы проверить ответ, найдите модуль координаты: длина должна быть нулём или положительным числом.

Противоположные векторы иногда считают равными, потому что у них одинаковые длины. Но у равных векторов совпадают и длины, и направления, а противоположные направлены в разные стороны. Сравните знаки координат: например, 5 и −5 задают противоположные, а не равные векторы.

При сложении или вычитании можно потерять знак одной из координат или перепутать порядок вычитания. Это часто происходит, когда числа записывают без скобок и торопятся с вычислением. Запишите выражение полностью, например −5 − 2, а затем проверьте результат правилами арифметики отрицательных и положительных чисел.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно уметь отмечать точки на координатной оси, находить их координаты и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Формула координаты вектора связывает перемещение с координатами двух точек, поэтому помогает находить расстояние между точками прямой: оно равно модулю разности их координат. Позже тот же подход пригодится при изучении векторов на плоскости и координатного метода решения геометрических задач.

Что запомнить

• Координата вектора AB равна x_B − x_A.
• Положительная координата указывает направление вправо, отрицательная — влево.
• Длина вектора равна модулю его координаты.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• У противоположных векторов координаты отличаются знаком.
• Координата суммы равна сумме координат слагаемых.
• При умножении вектора на число его координата умножается на это число.