§ 5. Координаты

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и выбранными положительными направлениями. Обычно горизонтальную ось называют осью x, а вертикальную — осью y. На осях выбирают единичный отрезок, чтобы измерять расстояния в одинаковых единицах. Такая система нужна, чтобы точно описывать положение любой точки на плоскости.

Координаты точки — это упорядоченная пара чисел (x; y), задающая её положение относительно осей. Первое число x называют абсциссой, второе y — ординатой. Порядок важен: числа показывают, сколько единиц нужно отложить вдоль каждой оси, поэтому перестановка координат обычно задаёт другую точку. Запись координат позволяет передавать положение точки без словесного описания.

Расстояние между точками — длина отрезка, который соединяет эти точки. Если известны координаты концов, расстояние можно вычислить, даже когда отрезок не параллелен ни одной оси. Для этого используют разности абсцисс и ординат и теорему Пифагора. Правило помогает находить длины на координатной плоскости без измерений по рисунку.

Середина отрезка — точка, которая делит отрезок на две равные части. Её координаты выражаются через координаты обоих концов: отдельно усредняют абсциссы и ординаты. Благодаря этому можно найти середину по известным концам и проверить, действительно ли заданная точка делит отрезок пополам. Формула работает и тогда, когда координаты отрицательные.

Как это устроено

Чтобы построить систему координат, сначала выбирают точку начала, затем проводят через неё две перпендикулярные прямые и задают на каждой положительное направление. На обеих осях отмечают единичный отрезок: без общей единицы нельзя было бы сравнивать числовые расстояния по горизонтали и вертикали. Точка на плоскости имеет два независимых смещения относительно начала — вдоль одной оси и вдоль другой. Поэтому для её задания нужны два числа, а не одно.

Точку с координатами (x; y) строят последовательно: сначала по горизонтальной оси находят значение x, затем от полученного положения перемещаются параллельно вертикальной оси на y. Если координата положительная, движение идёт в выбранную положительную сторону; если отрицательная — в противоположную. Чтобы прочитать координаты готовой точки, проводят через неё параллели к осям и определяют соответствующие значения на осях. Так сохраняется один порядок чтения: сначала абсцисса, потом ордината.

Пусть точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) соединены отрезком. Если провести из одной точки горизонтальный и вертикальный отрезки, получится прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет AB. Его горизонтальный катет равен модулю разности абсцисс, а вертикальный — модулю разности ординат. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, откуда AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).

Середина отрезка делит его на равные части, поэтому её положение по горизонтали находится ровно посередине между абсциссами концов. Это среднее арифметическое: (x₁ + x₂)/2. По вертикали действует то же рассуждение для ординат, поэтому координата y равна (y₁ + y₂)/2. Получается формула середины ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2): усреднять нужно обе координаты, потому что положение точки определяется ими обеими.

Координатный метод позволяет заменить геометрические отношения вычислениями. Сначала точкам приписывают координаты, затем переводят условие задачи в формулу или сравнение чисел и выполняют вычисления. Например, длины можно сравнить по формулам расстояния, а параллельность — по соотношению изменений координат. В конце проверяют, что полученный числовой результат действительно отвечает на геометрический вопрос.

Основные сведения о координатах точек и отрезков

Сначала определите, какие данные задачи относятся к координатам точки, а какие — к длине или середине отрезка. Затем выберите соответствующую строку и подставьте числа, сохраняя порядок координат и скобки. Последняя строка помогает быстро понять расположение точек, даже не вычисляя длины.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости отметить точку A(−3; 2) и записать координаты точки B, изображённой на рисунке. Рисунок в условии нужен, чтобы определить конкретное положение B, поэтому без него нельзя достоверно назвать её координаты. Зато можно разобрать порядок построения A и способ чтения B.

1. Для точки A сначала рассматриваем абсциссу −3. От начала координат откладываем 3 единицы влево, то есть против положительного направления оси x. Знак минус сообщает направление, а число 3 — расстояние от начала.

2. Из найденного положения перемещаемся на 2 единицы вверх, потому что ордината равна 2. Полученное место и есть точка A(−3; 2). Такой порядок действий соответствует записи: сначала x, затем y.

3. Чтобы прочитать координаты B, мысленно проводим через неё вертикаль к оси x и горизонталь к оси y. По шкале определяем сначала абсциссу, затем ординату, учитывая знаки. Без изображения значения этих двух чисел определить невозможно.

Ответ: точка A строится на 3 единицы влево и на 2 вверх от начала; координаты B считывают с данного рисунка в порядке (x; y).

Задача 2. Найти расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). Разность абсцисс показывает горизонтальное смещение от A к B, а разность ординат — вертикальное. Эти смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а искомое расстояние будет его гипотенузой.

1. Записываем формулу расстояния: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Для A берём x₁ = 1 и y₁ = 2, для B — x₂ = 4 и y₂ = 6. Можно поменять точки местами, поскольку квадраты разностей не изменятся.

2. Подставляем значения: AB = √((4 − 1)² + (6 − 2)²). Получаем разность по горизонтали 3, а по вертикали 4. Квадрат каждого смещения нужен по теореме Пифагора.

3. Вычисляем: AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Квадратный корень возвращает от квадрата длины к самой длине, поэтому ответ выражен в исходных единицах.

Ответ: AB = 5.

Задача 3. Даны вершины A(−2; 1), B(4; 5), C(6; −1). Найти середины двух сторон треугольника и проверить, параллелен ли отрезок, соединяющий эти середины, третьей стороне. Возьмём середины AB и AC, а третьей стороной будет BC. Если изменения координат при переходе между серединами пропорциональны изменениям координат вдоль BC, отрезки параллельны.

1. Находим середину AB: ((−2 + 4)/2; (1 + 5)/2) = (1; 3). Обозначим её M. Абсцисса и ордината вычисляются отдельно, поскольку это разные направления на плоскости.

2. Находим середину AC: ((−2 + 6)/2; (1 + (−1))/2) = (2; 0). Обозначим её N. Теперь сравним изменения координат для MN и BC.

3. От M к N абсцисса увеличивается на 1, ордината уменьшается на 3. От B к C абсцисса увеличивается на 2, ордината уменьшается на 6. Изменения для BC в два раза больше по обеим координатам, следовательно, направления отрезков совпадают и MN параллелен BC.

Ответ: M(1; 3), N(2; 0); MN ∥ BC.

Типичные ошибки

Перестановка абсциссы и ординаты. Иногда числа в паре считают равноправными и записывают их в любом порядке, хотя (x; y) и (y; x) обычно задают разные точки. Ошибку легко допустить, если забыть, какое число отвечает за горизонтальное направление. Проверяйте себя: первое число соотносится с осью x, второе — с осью y.

Неверное направление для отрицательной координаты. Минус иногда воспринимают как указание идти вниз в любом случае, хотя направление зависит от оси: по x отрицательные значения идут влево, по y — вниз. Ошибка возникает, если не свериться с выбранными положительными направлениями. Перед построением отметьте начало и направление осей, а затем отложите число со знаком.

Неполная формула расстояния. Можно забыть возвести разности координат в квадрат или не извлечь квадратный корень, получив не длину отрезка. Это происходит, когда формулу вспоминают по частям и не связывают с теоремой Пифагора. Подставьте числа в полную запись AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) и проверьте, что корень взят после сложения квадратов.

Неправильное усреднение координат середины. Ошибка — сложить координаты только одного конца или разделить на два лишь одну из координат. Обычно это случается, когда формулу записывают не для всей пары, а только для абсцисс либо ординат. Проверьте, что для середины отдельно использованы оба значения x и оба значения y, а обе полученные суммы разделены на два.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужно уметь откладывать числа на координатной прямой, различать положительные и отрицательные числа и применять теорему Пифагора. Эти знания объясняют, как строить точки и почему формула расстояния имеет именно такой вид. Позже координатный метод пригодится при изучении векторов, уравнений прямых и окружностей. Он также помогает решать геометрические задачи, переводя свойства фигур в вычисления.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (абсцисса; ордината).
• Оси координат взаимно перпендикулярны и имеют общее начало.
• Расстояние между A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂): √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
• Середина отрезка с концами A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) имеет координаты ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).
• Равные абсциссы означают, что точки лежат на одной вертикальной прямой; равные ординаты — на одной горизонтальной.
• В координатном методе геометрическое условие переводят в соотношение между числами.