"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Координаты помогают описать положение точки в пространстве числами и решать геометрические задачи вычислениями. Для этого выбирают три взаимно перпендикулярные оси: каждой соответствует одна координата. По координатам точек можно найти координаты вектора, длину отрезка и середину отрезка. Главные правила просты: координаты вектора получают вычитанием координат начала из координат конца, расстояние находят по теореме Пифагора, а координаты середины — как полусуммы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. Оси задают направления, относительно которых измеряют положение точек. Такая система позволяет описывать пространственные фигуры с помощью чисел и применять вычисления вместо одних только чертежей.
Координаты точки — три числа, задающие её положение относительно начала координат и осей; запись A(x; y; z) означает, что координаты точки A равны x, y и z. Каждое число отвечает за смещение вдоль одной оси. Координаты нужны, чтобы однозначно обозначить точку и вычислять связанные с ней величины.
Координаты вектора — три числа, равные приращениям координат при переходе от начала вектора к его концу. Для вектора AB это изменения по каждой оси от точки A к точке B. Запись вектора через координаты помогает описывать его направление и длину, не полагаясь на масштаб рисунка.
Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки; оно выражается через разности их координат. Разности показывают, насколько точки разнесены по каждому из трёх направлений. Формула расстояния позволяет находить длину отрезка, даже если его нельзя удобно измерить на изображении.
Чтобы задать положение точки в пространстве, одного числа недостаточно: оно определило бы положение только на линии. Два числа задают положение на плоскости, но не показывают, насколько точка удалена от этой плоскости. Поэтому используют три числа — по одному для каждого из взаимно перпендикулярных направлений. Перпендикулярность осей делает эти смещения независимыми: движение вдоль одной оси не меняет координаты по двум другим.
Координату можно понимать как направленное расстояние от точки до соответствующей координатной плоскости, то есть плоскости, образованной двумя другими осями. Если точка лежит по одну сторону от такой плоскости, координата имеет один знак, а по другую — противоположный. Какой именно знак будет положительным, задаёт выбранное направление оси. Так знак сообщает не только величину смещения, но и сторону, в которую расположена точка.
Вектор описывает переход из начальной точки в конечную, поэтому его координаты должны показывать изменение положения. Если перейти от A(x₁; y₁; z₁) к B(x₂; y₂; z₂), изменение по первой оси равно x₂ − x₁; по двум другим координаты вычитают аналогично. Отсюда координаты AB равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Вычитание в обратном порядке описывало бы переход от B к A, то есть противоположный вектор.
Формула расстояния получается из теоремы Пифагора, потому что три разности координат — взаимно перпендикулярные составляющие перемещения между точками. Сначала можно объединить две составляющие на одной плоскости: квадрат длины диагонали равен сумме квадратов этих составляющих. Затем к полученной диагонали добавляют третью перпендикулярную составляющую и ещё раз применяют теорему Пифагора. В итоге квадрат расстояния равен сумме квадратов всех трёх разностей, а само расстояние — квадратному корню из этой суммы.
Чтобы вывести правило для середины отрезка, удобно мысленно поместить начало координат в его середину. Тогда концы отрезка находятся на одинаковом расстоянии от начала в противоположных направлениях, поэтому их координаты отличаются только знаками. Возвращаясь к исходным координатам, получаем, что координата середины равноудалена от координат концов и лежит между ними. Для каждой оси это означает полусумму соответствующих координат концов.
В таблице собраны правила, которые применяются к каждой координате отдельно. В обозначениях для точек A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) индексы 1 и 2 указывают, какой точке принадлежит координата. Перед подстановкой полезно определить, что именно требуется: направленный вектор, длина или координаты середины.
| Что определяется | Исходные данные | Формула или правило |
|---|---|---|
| Координаты вектора AB | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) |
| Длина вектора | Вектор v = (a; b; c) | |v| = √(a² + b² + c²) |
| Расстояние между двумя точками | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Координаты середины отрезка | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2) |
Для расстояния сначала находят три разности, возводят каждую в квадрат, складывают и извлекают корень. Координаты середины, напротив, получают сложением соответствующих координат и делением на два. Если требуется вектор, сохраняйте порядок точек: AB и BA отличаются направлением.
Даны точки A(2; −1; 3) и B(−1; 4; 1). Найдите координаты вектора AB. Вектор направлен от A к B, поэтому для каждой координаты вычитаем значение в точке A из значения в точке B. Такой порядок нужен, чтобы получить именно AB, а не противоположный вектор BA.
Ответ: AB = (−3; 5; −2). Отрицательные первая и третья координаты означают, что переход от A к B идёт в сторону, противоположную положительным направлениям соответствующих осей. Если выполнить вычитание в обратном порядке, получится (3; −5; 2) — координаты BA.
Найдите расстояние между точками C(1; 2; −2) и D(4; −2; 1). Расстояние не зависит от направления, поэтому можно вычитать координаты C из координат D и использовать формулу для двух точек. Сначала вычислим изменения по трём осям, затем применим теорему Пифагора в пространстве.
Ответ: CD = √34. Под корнем складываются квадраты всех трёх разностей, поэтому отрицательная разность тоже даёт положительный вклад. Приближённо расстояние равно 5,83, но точное значение √34 предпочтительно, если приближение не требуется.
Точка M — середина отрезка AB, где A(−2; 5; 1), а M(1; 2; −3). Найдите координаты B. Формула середины связывает координаты A и B полусуммами, поэтому для каждой оси составим отдельное равенство. Затем выразим неизвестную координату B, умножив обе части на два и перенеся координату A.
Ответ: B(4; −1; −7). Проверим результат по формуле середины: для первой координаты (−2 + 4)/2 = 1, для второй (5 − 1)/2 = 2, для третьей (1 − 7)/2 = −3. Получились координаты M, значит, найденная точка подходит.
При вычислении AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Такую ошибку допускают, когда забывают, что порядок букв задаёт направление вектора; при обратном вычитании получается BA. Проверяйте, что в каждой разности сначала стоит координата конечной точки B, затем начальной A.
В формуле расстояния можно пропустить квадрат одной разности или не извлечь квадратный корень. Обычно это происходит из-за спешки при подстановке нескольких координат. Проверка: под корнем должны стоять три квадрата разностей, а результатом формулы должна быть длина, не её квадрат.
Координаты середины иногда находят как разности координат концов вместо полусумм. Путаница возникает потому, что формула вектора тоже содержит вычитание. Проверьте результат: каждая координата середины должна лежать между координатами концов по этой оси, а их сумма должна быть равна сумме координат концов.
Координаты точки могут ошибочно воспринимать как координаты вектора. У точки три числа задают её положение относительно начала координат, а для вектора AB нужно учитывать обе точки и находить изменения координат. Проверка проста: если известны только координаты одной точки, координаты вектора AB определить нельзя, пока не задана точка A или B.
Для работы с пространственными координатами нужны декартова система координат на плоскости, правила записи координат точек и теорема Пифагора. Теорема объясняет, почему длину в пространстве находят через сумму квадратов трёх перпендикулярных составляющих. Координатный метод дальше применяют при изучении уравнений прямых и плоскостей, расстояний и углов в пространстве. Связь координат вектора с координатами его начала и конца становится основой векторной алгебры.
Почему в пространстве нужны три координаты, а не две?
В пространстве точка может смещаться в трёх независимых направлениях. Две координаты задают положение только на плоскости, а третья указывает смещение относительно неё.
Как понять, какой знак поставить у координаты точки?
Знак зависит от направления оси, которое выбрано положительным. Смещение по положительному направлению даёт положительную координату, а в противоположную сторону — отрицательную.
Чем координаты точки отличаются от координат вектора?
Координаты точки описывают её положение относительно начала координат. Координаты вектора показывают, насколько и в каком направлении нужно переместиться от его начала к концу.
Почему при вычислении координат вектора важно соблюдать порядок вычитания?
Вектор AB направлен от точки A к точке B, поэтому его координаты находят как координаты B минус координаты A. Если поменять порядок, получится вектор BA, направленный противоположно.
Как найти координаты середины отрезка в пространстве?
Для каждой координаты отдельно сложите соответствующие координаты концов отрезка и разделите сумму на два. Полученные три числа — координаты середины.
§ 37. Координаты
