37.1. Прямоугольные координаты

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси Ox, Oy и Oz, имеющие общее начало O и выбранные единичные отрезки. Оси задают направления, а единичные отрезки позволяют измерять расстояния. Такая система нужна, чтобы описывать положение точки числовой тройкой, а не только словами или чертежом.

Координаты точки — это упорядоченная тройка чисел A(x; y; z), задающая положение точки A относительно осей. Числа x, y и z называют абсциссой, ординатой и аппликатой соответственно. Порядок чисел важен: перестановка координат обычно задаёт другую точку, поэтому эта запись нужна для точного описания положения.

Координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz — плоскости, проходящие через соответствующие пары осей. Координата точки показывает её направленное расстояние от одной из этих плоскостей: x — от Oyz, y — от Oxz, z — от Oxy. Это помогает понять, какие координаты равны нулю, когда точка лежит на плоскости или оси.

Как это устроено

Начало координат O — точка пересечения всех трёх осей. На каждой оси отмечают положительное направление и противоположное ему отрицательное, поэтому координата может быть как положительной, так и отрицательной. Это необходимо, чтобы различать точки по разные стороны от начала и координатных плоскостей. Без выбранных направлений расстояния сообщали бы только удалённость, но не положение.

Положение точки можно представить с помощью параллельных переносов вдоль осей. От начала координат сначала откладывают x вдоль направления Ox, затем y параллельно Oy и z параллельно Oz. Так получают точку A(x; y; z), причём порядок этих перемещений не меняет итоговую точку. Перемещения взаимно перпендикулярны, поэтому координаты можно рассматривать отдельно и затем объединять.

Каждая координатная плоскость соответствует нулю одной координаты. Если z = 0, точка лежит в плоскости Oxy; если y = 0 — в Oxz; если x = 0 — в Oyz. Чтобы точка лежала на оси Ox, одновременно должны быть y = 0 и z = 0. Такие условия полезны для определения положения точки по её координатам.

Знаки координат показывают, по какую сторону от координатных плоскостей находится точка. Например, положительная координата z означает, что точка расположена в направлении положительной полуоси Oz от плоскости Oxy, а отрицательная — в противоположном направлении. Все три знака вместе определяют одну из восьми областей пространства, на которые координатные плоскости его делят. Поэтому при чтении координат важно не отбрасывать знак числа.

Расстояние между точками находят по разностям соответствующих координат. Если A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), то изменения вдоль осей равны x₂ − x₁, y₂ − y₁ и z₂ − z₁. Эти три перпендикулярных изменения образуют пространственный аналог прямоугольного треугольника, поэтому дважды применяют теорему Пифагора. В результате получают AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Координаты и положение точки

Чтобы определить положение точки, найди координату, равную нулю, и сопоставь её с координатной плоскостью. Если нулей две, точка находится на оси, общей для двух подходящих плоскостей. Если все три координаты нулевые, это начало координат.

Таблица также помогает проверять ответ: например, точка с координатами (4; 0; 0) лежит на Ox, а не просто в одной из координатных плоскостей. Для точки с тремя ненулевыми координатами ни одно из указанных условий принадлежности плоскости не выполняется. Знаки координат при этом указывают направление, но не меняют правило о нулевых координатах.

Разбор задач

Задача. Найдите расстояние между точками A(1; −2; 3) и B(4; 2; 3). Перед подстановкой полезно выяснить, чем точки отличаются по каждой координате. Это предотвращает ошибку, когда координаты вычитают не в соответствующем порядке или забывают одну из осей.

1. Выпишем изменения координат: по оси Ox они равны 4 − 1 = 3, по Oy — 2 − (−2) = 4, по Oz — 3 − 3 = 0. Нулевая разность означает, что точки имеют одинаковую координату z. Значит, перемещения между ними происходят только в направлениях Ox и Oy.
2. Применим формулу расстояния в пространстве: AB = √((4 − 1)² + (2 − (−2))² + (3 − 3)²). Квадраты нужны потому, что расстояние не зависит от направления перемещения. Поэтому отрицательная разность, если бы она возникла, тоже дала бы положительный вклад после возведения в квадрат.
3. Вычислим: AB = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Здесь формула свелась к теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4. Полученное значение положительно, как и должно быть у расстояния.

Ответ: AB = 5. Проверка по смыслу показывает, что точки отличаются на 3 единицы в одном направлении и на 4 в перпендикулярном, поэтому расстояние больше каждого из этих изменений, но меньше их суммы. Число 5 этому условию удовлетворяет. Равенство координаты z у обеих точек не добавляет длины к расстоянию.

Типичные ошибки

• Путают порядок координат. Запись (x; y; z) читают как произвольный набор чисел, хотя каждая позиция связана со своей осью. Ошибка возникает, когда координаты считывают с чертежа без проверки обозначений осей. Проверка: подпиши для каждого числа соответствующую ось и только затем записывай тройку.
• Считают, что нулевая координата означает начало координат. На самом деле одна нулевая координата указывает на плоскость, а две — на ось. Такую ошибку допускают, смешивая условие принадлежности плоскости с координатами O. Проверь, сколько координат равно нулю: начало координат получается только при трёх нулях.
• Теряют отрицательный знак при вычислении разности. Например, 2 − (−2) равно 4, а не 0 или 2. Это происходит, когда вычитание отрицательного числа воспринимают как обычное вычитание положительного. Подставь координаты в скобки и проверь, что после возведения разности в квадрат её знак уже не влияет на результат.
• Забывают третью координату в формуле расстояния. На плоском рисунке движение по одной оси может быть незаметно, поэтому формулу сокращают преждевременно. В результате расстояние получается меньше нужного. Проверка: выпиши три разности координат и убедись, что каждая из них учтена в сумме квадратов.

Связь с другими темами

Прямоугольные координаты в пространстве продолжают знакомую по планиметрии идею координат на плоскости: к двум числам добавляется третье, отвечающее за направление по новой оси. Формула расстояния связана с теоремой Пифагора и её применением в нескольких взаимно перпендикулярных направлениях. Координатный метод позволяет переводить геометрические условия в равенства и неравенства с числами. Поэтому он служит основой для решения задач о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Прямоугольная система в пространстве состоит из трёх взаимно перпендикулярных осей Ox, Oy и Oz.
• Точка записывается упорядоченной тройкой A(x; y; z); порядок координат соответствует порядку осей.
• Условие x = 0 означает принадлежность плоскости Oyz, y = 0 — Oxz, z = 0 — Oxy.
• Две нулевые координаты означают, что точка лежит на оси; три нулевые — что это начало координат.
• Расстояние между A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) равно √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).