37.2. Формула расстояния между точками

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом. Каждая ось задаёт одно направление, а их пересечение служит точкой отсчёта. Такая система позволяет описывать положение точки числами, а не только словами или рисунком. Она нужна, чтобы переводить геометрические задачи о расположении и длинах в вычисления.

Координаты точки — числа x, y, z, задающие её положение относительно осей; точку обозначают A(x; y; z). Первая координата связана с осью Ox, вторая — с Oy, третья — с Oz. Например, запись B(2; −1; 4) сообщает положение точки по каждому из трёх направлений. Это обозначение позволяет сопоставлять точки и находить расстояния между ними.

Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Его обозначают, например, AB, если речь идёт о точках A и B. Длина не зависит от направления перехода: от A к B и от B к A получается одно и то же расстояние. Поэтому при вычислении можно выбирать удобный порядок вычитания координат.

Формула расстояния между точками — правило вычисления длины отрезка по координатам его концов. Для точек в пространстве в неё входят три разности одноимённых координат. Это позволяет найти длину, даже если отрезок нельзя удобно измерить на чертеже. Формула опирается на теорему Пифагора и подходит для расчётов по заданным координатам.

Как это устроено

Пусть заданы точки A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂). Разность x₂ − x₁ показывает, насколько нужно сместиться от A к B вдоль оси Ox; разности y₂ − y₁ и z₂ − z₁ описывают смещения вдоль двух остальных осей. Знак показывает направление: положительное или отрицательное. Для длины важна величина смещения, поэтому в формуле разности в итоге возводятся в квадрат.

Сначала можно рассмотреть перемещения в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy. Их составляющие по Ox и Oy перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора квадрат длины такого перемещения равен сумме квадратов двух разностей. Затем этот отрезок и перемещение вдоль Oz образуют прямоугольный треугольник в пространстве. Ещё одно применение теоремы Пифагора добавляет квадрат третьей разности, и получается квадрат длины всего отрезка.

Таким образом, AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)². Чтобы найти само расстояние, берут неотрицательный квадратный корень: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Каждый квадрат относится к перемещению вдоль одной оси, а их сумма учитывает все три взаимно перпендикулярных направления. Корень нужен потому, что сумма квадратов даёт квадрат длины, а не саму длину.

Порядок вычитания можно изменить, например заменить x₂ − x₁ на x₁ − x₂. При такой замене разность меняет знак, но квадрат остаётся прежним: (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)². Это верно для каждой пары координат, поэтому расстояние не изменится. Следовательно, при подстановке можно вычитать координаты в любом порядке, главное — сравнивать координаты одной и той же оси.

Если точки лежат в одной координатной плоскости, их координаты по перпендикулярной оси одинаковы, поэтому разность по этой оси равна нулю. В формуле остаются два слагаемых, как в формуле расстояния на плоскости. Если точки лежат на координатной прямой, совпадают две координаты, и остаётся одна разность: расстояние равно модулю разности координат. Так формулы для прямой и плоскости получаются из пространственной формулы подстановкой нулевых разностей.

Расстояние между точками в координатах

Сначала определите, сколько координат задаёт положение точек в условии, а затем выберите соответствующую строку. Если известны три координаты, но точки лежат в одной плоскости, можно использовать пространственную формулу: одно слагаемое окажется нулевым. Модуль в формуле для прямой нужен, чтобы расстояние было неотрицательным при любом порядке вычитания.

Разбор задач

Задача 1. Найдите расстояние между точками A(1; 2; 3) и B(4; 6; 3). Точки заданы в пространстве, поэтому сначала запишем формулу для трёх координат. Третьи координаты совпадают, и перемещения вдоль Oz нет. Это упростит вычисление, но координату всё равно стоит показать в подстановке.

1. Записываем формулу: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
2. Подставляем координаты: AB = √((4 − 1)² + (6 − 2)² + (3 − 3)²).
3. Считаем квадраты: AB = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5.

Ответ: AB = 5. Нулевое слагаемое появилось из-за совпадения третьих координат, поэтому отрезок лежит в плоскости с постоянной координатой z. Результат можно проверить по теореме Пифагора: квадрат расстояния равен 3² + 4². Значит, длина действительно равна 5.

Задача 2. Найдите расстояние между точками C(−2; 1; 4) и D(1; −3; 2). Здесь точки отличаются по всем трём координатам, поэтому необходимо учесть каждую пару. Выберем порядок «координата D минус координата C». Затем возведём каждую разность в квадрат и сложим полученные числа.

1. Подставляем координаты: CD = √((1 − (−2))² + (−3 − 1)² + (2 − 4)²).
2. Находим разности: CD = √(3² + (−4)² + (−2)²).
3. Возводим в квадрат и складываем: CD = √(9 + 16 + 4) = √29.

Ответ: CD = √29. Отрицательные разности не приводят к отрицательному слагаемому, поскольку после возведения в квадрат их знаки исчезают. Число 29 не является квадратом целого числа, поэтому корень можно оставить в точном виде. Приближённо расстояние составляет около 5,39.

Задача 3. Точка P равноудалена от A(1; 0; 0) и B(5; 0; 0), причём P лежит на оси Oy. Найдём её координаты. Так как точка расположена на оси Oy, её координаты по Ox и Oz равны нулю, поэтому запишем P(0; y; 0). Равные расстояния удобнее приравнять через квадраты: тогда не придётся раскрывать квадратные корни.

1. Находим квадраты расстояний: PA² = (0 − 1)² + y² + (0 − 0)² = 1 + y²; PB² = (0 − 5)² + y² + (0 − 0)² = 25 + y².
2. По условию PA = PB, значит, PA² = PB². Получаем 1 + y² = 25 + y².
3. Вычитаем y² из обеих частей: выходит 1 = 25, то есть равенство невозможно.

Ответ: такой точки P на оси Oy не существует. Равные расстояния потребовали бы, чтобы P находилась на плоскости, равноудалённой от A и B; эта плоскость задаётся x = 3. Ось Oy целиком лежит в плоскости x = 0, поэтому пересечения с плоскостью x = 3 нет. Противоречие в уравнении подтверждает, что условию нельзя удовлетворить.

Типичные ошибки

• Складывают разности координат без возведения в квадрат. Так теряется связь с теоремой Пифагора, а результат может зависеть от знаков и даже оказаться отрицательным. Ошибку часто допускают, принимая перемещения по осям за одно общее направленное перемещение. Для проверки убедитесь, что каждое слагаемое в формуле — квадрат соответствующей разности.
• Забывают одну из координат в пространстве. Тогда учитывают перемещение лишь в части направлений и получают длину меньше настоящей, если пропущенная разность не равна нулю. Это может произойти, если по привычке применить формулу для плоскости. Перед вычислением выпишите x, y и z обеих точек и проверьте, что в формуле присутствуют все три пары.
• Возводят в квадрат только одну разность или извлекают корень до сложения. В первом случае остальные направления теряются, а во втором формула перестаёт соответствовать теореме Пифагора. Обычно ошибка возникает при поспешной подстановке или при чтении выражения. Сначала возведите в квадрат все разности, сложите квадраты и лишь затем извлеките корень.
• Путают координаты разных осей, например вычитают x₁ из y₂. Такие числа относятся к разным направлениям, поэтому их разность не описывает перемещение вдоль одной оси. Путаница возможна, если координаты записаны в строку и их соответствие не проверяют. Сверяйте позиции: x с x, y с y, z с z.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужны координаты точек на прямой, плоскости и в пространстве, а также теорема Пифагора. Она объясняет, почему квадраты перпендикулярных составляющих складываются. Формула применяется при нахождении длин отрезков, проверке равенства расстояний и решении координатных задач в пространстве. Она также связана с векторами: расстояние между точками равно длине вектора, соединяющего их.

Что запомнить

• Расстояние между точками — неотрицательная длина отрезка.
• Вычитайте координаты, соответствующие одной и той же оси.
• В пространстве учитывайте три разности координат.
• Квадрат расстояния равен сумме квадратов разностей координат.
• Чтобы получить расстояние, извлеките квадратный корень из этой суммы.
• Если точки лежат в одной плоскости или на одной оси, формула упрощается.