34.5. Скалярное умножение векторов

Определения и обозначения

Скалярное произведение ненулевых векторов a и b — это число a · b = |a| · |b| · cos α, где |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. В отличие от сложения векторов результатом здесь является не направленный отрезок, а число. Оно учитывает и размеры векторов, и то, насколько совпадают их направления.

Угол между векторами определяют для векторов, отложенных от общего начала: это меньший угол от первого вектора ко второму. Его величина находится в пределах от 0° до 180°. Такое ограничение позволяет однозначно определить косинус и знак скалярного произведения.

Скалярный квадрат вектора a — это его скалярное произведение на самого себя: a · a. Так как угол вектора с самим собой равен 0°, получаем a · a = |a|². Поэтому по скалярному квадрату можно находить длину вектора.

Ортогональные векторы — векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Для ненулевых векторов это означает перпендикулярность, поскольку cos α = 0 только при α = 90°. Такое определение удобно проверять вычислением, особенно когда векторы заданы координатами.

Как это устроено

В формуле a · b = |a| · |b| · cos α длины задают масштаб произведения, а косинус учитывает направление. При одинаковых длинах изменение угла меняет только множитель cos α, поэтому результат может быть положительным, нулевым или отрицательным. Если векторы направлены одинаково, косинус равен 1 и произведение максимально, а при противоположных направлениях он равен −1.

Для координатного вывода представим векторы через взаимно перпендикулярные единичные направления. Перпендикулярные составляющие не дают вклада в скалярное произведение, потому что их угол равен 90°, а cos 90° = 0; одинаково направленные составляющие дают произведения соответствующих координат. Поэтому на плоскости a = (a₁; a₂), b = (b₁; b₂) и a · b = a₁b₁ + a₂b₂, а в пространстве для третьих координат добавляется слагаемое a₃b₃.

Знак произведения сразу сообщает вид угла между ненулевыми векторами. Если a · b > 0, то cos α > 0 и угол острый; если a · b = 0, угол прямой; если a · b < 0, косинус отрицателен и угол тупой. Причина этого правила в том, что длины векторов положительны и не меняют знак произведения.

Скалярное произведение переместительно: a · b = b · a, поскольку умножение чисел переместительно, а угол один и тот же. Оно распределительно относительно сложения: (a + b) · c = a · c + b · c, потому что каждая координатная составляющая суммы складывается отдельно. Числовой множитель можно вынести: (λa) · b = λ(a · b), что позволяет упрощать выражения перед вычислением.

Для нахождения угла сначала вычисляют произведение и длины, а затем используют cos α = (a · b) / (|a| · |b|). Формула применима к ненулевым векторам, иначе знаменатель равен нулю. Для проверки перпендикулярности достаточно получить нулевое произведение, не находя сам угол.

Определение, координатная формула и свойства скалярного произведения

Сначала выберите строку, соответствующую данным задачи: длинам и углу или координатам. Затем примените формулу из второго столбца, а вывод сделайте по третьему столбцу. При преобразовании выражений пользуйтесь свойствами, чтобы не выполнять лишние вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Длины и угол

Даны |a| = 4, |b| = 5 и угол α = 60°. Требуется найти a · b. Известны именно те величины, которые входят в геометрическое определение, поэтому координаты искать не нужно.

1. Записываем формулу: a · b = |a| · |b| · cos α.
2. Подставляем данные: a · b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получаем 20 · ½ = 10.

Ответ: a · b = 10.

Задача 2. Координаты и вид угла

Пусть a = (2; −1; 3), b = (1; 4; −2). Найдём произведение и определим, какой угол образуют векторы. Координатная формула позволяет решить задачу непосредственно, без вычисления длин.

1. Перемножаем соответствующие координаты: 2 · 1, (−1) · 4 и 3 · (−2).
2. Складываем результаты: a · b = 2 − 4 − 6 = −8.
3. Получено отрицательное число, значит косинус угла отрицателен, а угол тупой.

Ответ: a · b = −8; угол тупой.

Задача 3. Параметр и перпендикулярность

Найдите t, при котором векторы a = (t; 2; −1) и b = (3; −1; 4) перпендикулярны. Для ненулевых векторов условие перпендикулярности заменяется равенством их скалярного произведения нулю.

1. Вычисляем произведение: a · b = 3t + 2 · (−1) + (−1) · 4 = 3t − 6.
2. Приравниваем его к нулю: 3t − 6 = 0.
3. Решаем уравнение: 3t = 6, поэтому t = 2.
4. Проверяем: при t = 2 произведение равно 6 − 2 − 4 = 0.

Ответ: t = 2.

Типичные ошибки

Считать произведение вектором. Так ошибаются из-за привычки к операциям с векторами, но результат скалярного умножения — число. Проверьте запись: после знака «·» должно получиться числовое выражение без направления.

Забывать косинус или брать не тот угол. Длины сами по себе не учитывают взаимное направление, поэтому без cos α формула неполна. Убедитесь, что угол образован именно данными векторами, отложенными от общего начала.

Неверно работать с координатами. Нельзя складывать координаты или перемножать несоответствующие компоненты: сначала умножают координаты с одинаковыми номерами, затем складывают. Число слагаемых должно совпадать с размерностью пространства.

Считать нулевое произведение доказательством перпендикулярности любых векторов. Геометрический угол не определён для нулевого вектора, поэтому вывод об угле делают только для ненулевых векторов. Перед заключением проверьте, что оба вектора действительно ненулевые.

Связь с другими темами

Для работы нужны длина и координаты вектора, понятие угла между векторами, косинус угла и правила действий с векторами. Эти знания объясняют обе формы скалярного произведения: геометрическую и координатную.

Скалярное произведение помогает находить углы и проверять перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Поэтому оно часто встречается в задачах на взаимное расположение геометрических объектов.

Тема связана с аналитической геометрией: условие перпендикулярности или формулу угла можно заменить уравнением с координатами. Геометрическое рассуждение таким образом превращается в последовательность вычислений.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• Геометрическая формула: a · b = |a| · |b| · cos α.
• Координатное произведение находят как сумму произведений соответствующих координат.
• Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a · a = |a|².
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Для ненулевых векторов положительное произведение соответствует острому углу, отрицательное — тупому.