34.4. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Умножение вектора на число — операция, которая каждому вектору a и числу k сопоставляет вектор ka. Результат связан с исходным вектором его длиной и направлением: коэффициент определяет, насколько изменится длина и куда будет направлен новый вектор. Это обозначение позволяет кратко описывать увеличение, уменьшение и разворот вектора. Например, 2a означает вектор, полученный из a умножением на 2.

Коэффициент умножения — число k, на которое умножают вектор. Его модуль показывает, во сколько раз изменяется длина результата, а знак помогает определить его направление. Поэтому для длины используют равенство |ka| = |k||a|, где вертикальные черты обозначают длину вектора или модуль числа. Такое разделение на знак и модуль упрощает построение результата.

Противоположный вектор — вектор, полученный умножением данного вектора на −1. Он равен исходному по длине, но направлен в противоположную сторону, поэтому a + (−a) = 0. Это понятие нужно, чтобы описывать вычитание векторов через сложение: a − b = a + (−b). Таким образом, противоположный вектор помогает заменять одну операцию другой.

Нулевой вектор при умножении — результат умножения любого вектора на 0: 0a = 0. Его длина равна нулю, поэтому у него нет определённого направления. Он служит особым результатом, который показывает, что исходное направление и длина исчезают при нулевом коэффициенте. Вектор a, равный нулю, также даёт нулевой результат при умножении на любое число.

Как это устроено

Если коэффициент положительный, новый вектор направлен так же, как исходный. Причина в том, что умножение на положительное число не меняет знак величины, отвечающей за направление. При коэффициенте больше 1 длина увеличивается, а при коэффициенте между 0 и 1 уменьшается: например, 3a втрое длиннее a, а ½a вдвое короче. В обоих случаях длина результата равна произведению исходной длины на коэффициент.

Отрицательный коэффициент меняет направление на противоположное, потому что его знак задаёт разворот вектора. При этом длина не может стать отрицательной, поэтому её умножают на модуль коэффициента. Например, −2a направлен противоположно a и имеет вдвое большую длину. А вектор −½a направлен в обратную сторону и вдвое короче исходного.

Частные коэффициенты дают простые результаты: 1a = a, (−1)a = −a, 0a = 0. При умножении на единицу ни длина, ни направление не меняются. Множитель −1 меняет только направление, а нулевой множитель обнуляет длину и оставляет нулевой вектор. Эти случаи помогают проверять более сложные вычисления.

Правила умножения согласуются с обычными действиями над числами и сложением векторов. Например, k(a + b) = ka + kb: если сначала сложить два вектора, а затем умножить сумму на k, получится то же, что умножить каждый вектор отдельно и сложить результаты. Аналогично (k + m)a = ka + ma, а последовательное умножение даёт k(ma) = (km)a. Эти равенства позволяют раскрывать скобки и упрощать векторные выражения.

Если один ненулевой вектор является произведением другого на число, то они коллинеарны: каждый получается растяжением, уменьшением или разворотом вдоль того же направления. Коллинеарными называют векторы, параллельные одной прямой; они могут быть сонаправленными или направленными противоположно. Обратно, два ненулевых коллинеарных вектора можно связать равенством b = ka. Модуль k определяется отношением их длин, а знак — тем, совпадают ли направления.

Как коэффициент влияет на вектор

Сначала найди знак коэффициента: он подскажет, сохраняется ли направление или меняется на противоположное. Затем умножь исходную длину на модуль коэффициента. Строки для 1, −1 и 0 позволяют быстро проверить результат в частных случаях.

Разбор задач

Построить вектор 2a, если длина a равна 4

Коэффициент 2 положительный, значит, направление исходного вектора сохраняется. Его модуль равен 2, поэтому длина результата должна стать в два раза больше. При построении важно не менять направление, даже если вектор откладывается от другой точки.

1. Отметь направление вектора a и выбери прямую, параллельную ему.
2. Вычисли длину результата: |2a| = 2|a| = 2 · 4 = 8.
3. Отложи на выбранном направлении вектор длиной 8.

Ответ: вектор 2a направлен так же, как a, и имеет длину 8.

Построить вектор −⅓a, если длина a равна 6

Здесь коэффициент отрицательный, поэтому нужно развернуть направление. Его модуль равен ⅓, то есть длина результата составит треть длины исходного вектора. Эти два действия — смена направления и изменение длины — выполняются независимо друг от друга.

1. Найди длину результата: |−⅓a| = |−⅓||a| = ⅓ · 6 = 2.
2. Проведи прямую, параллельную вектору a.
3. На этой прямой отложи вектор длиной 2 в сторону, противоположную направлению a.

Ответ: вектор −⅓a имеет длину 2 и направлен противоположно a.

Найти возможные k, если b = ka, векторы коллинеарны, |a| = 5, |b| = 15

По длинам можно определить только модуль коэффициента: растяжение должно увеличить длину 5 до 15. Но длина сама по себе не сообщает, совпадают ли направления векторов. Поэтому после вычисления модуля нужно отдельно учесть оба возможных расположения коллинеарных векторов.

1. Из равенства b = ka следует |b| = |k||a|.
2. Подставь длины: 15 = |k| · 5, поэтому |k| = 3.
3. Если a и b сонаправлены, коэффициент положителен и k = 3; если направлены противоположно, k = −3.

Ответ: k = 3 или k = −3 — в зависимости от взаимного направления векторов.

Типичные ошибки

Оставлять исходное направление при отрицательном коэффициенте — ошибка: знак «минус» означает разворот вектора. Её часто допускают, потому что сначала замечают только изменение длины. Проверь себя: если k < 0, результат должен быть направлен в обратную сторону.

Умножать длину на отрицательное число тоже неверно: длина всегда неотрицательна. Так происходит, когда правило для самого вектора механически переносят на его длину. Используй формулу |ka| = |k||a| и проверь, что полученное значение длины не меньше нуля.

Считать, что умножение меняет только длину, нельзя: знак коэффициента влияет и на направление. Эту ошибку легко допустить при изображении вектора на прямой, сосредоточившись на масштабе. Для самопроверки отдельно запиши два результата: длина умножается на |k|, а направление зависит от знака k.

Коллинеарность не означает равенство длин векторов. Их могут отличать и длины, и направления, хотя прямые, которым они параллельны, совпадают или параллельны. Проверяй, что именно задано: коллинеарность указывает на взаимное расположение, а равенство векторов требует совпадения и длины, и направления.

Связь с другими темами

Для работы с умножением на число понадобятся понятия длины и направления вектора, равных и противоположных векторов, а также коллинеарности. Когда нужно представить вектор через другие заданные векторы, умножение задаёт коэффициенты их растяжения и разворота. Та же операция используется при вычислениях с координатами: координаты вектора умножаются на тот же коэффициент. Правила умножения помогают преобразовывать выражения и доказывать геометрические утверждения.

Что запомнить

• При умножении вектора на число его длина умножается на модуль числа.
• Положительный коэффициент сохраняет направление вектора.
• Отрицательный коэффициент меняет направление на противоположное.
• Умножение на 0 даёт нулевой вектор.
• Умножение на 1 не меняет вектор, а на −1 даёт противоположный.
• Коллинеарные векторы связаны равенством вида b = ka.