34.3. Сложение векторов

Определения и обозначения

Сумма векторов — вектор, полученный при последовательном откладывании слагаемых. Сумму векторов a и b записывают a + b. Такая запись нужна, чтобы обозначать единый результат нескольких перемещений, учитывая и длину, и направление каждого из них.

Правило треугольника — способ построить сумму двух векторов: начало второго располагают в конце первого. Суммой будет вектор от начала первого к концу второго. Правило удобно, когда векторы уже можно расположить один за другим.

Правило параллелограмма — способ построить сумму двух векторов, отложенных от одной точки: через их концы проводят параллельные прямые, получая параллелограмм. Его диагональ с началом в общей точке представляет сумму. Этот способ помогает наглядно увидеть результат, когда слагаемые имеют общее начало.

Противоположные векторы — векторы равной длины, направленные в противоположные стороны. Их сумма равна нулевому вектору: a + (−a) = 0. Это понятие позволяет описывать взаимное уничтожение перемещений и упрощать выражения с векторами.

Как это устроено

Сложение связывает векторы с последовательными перемещениями. Пусть движение начинается в точке A и заканчивается в точке B, а затем продолжается до точки C; первый вектор — AB, второй — BC. Общий результат ведёт сразу из A в C, поэтому сумма равна AC. Именно поэтому при сложении конец первого слагаемого становится началом второго, а результирующий вектор соединяет начальную и конечную точки.

Часто слагаемые заданы в разных местах, и их нельзя сразу расположить одно за другим. Вектор можно переносить параллельно самому себе: его длина и направление при этом сохраняются, значит, он остаётся тем же вектором. Поэтому второй вектор разрешается передвинуть так, чтобы его начало оказалось в конце первого. После переноса правило треугольника применяется без изменений.

При построении по правилу параллелограмма оба слагаемых откладывают от общего начала. Если сначала пройти по одному вектору, а затем по параллельной ему стороне, получится такое же последовательное перемещение, как по двум исходным сторонам. Диагональ от общего начала соединяет его с конечной точкой этого пути. Значит, диагональ и есть сумма, а не другая диагональ параллелограмма.

Перестановка слагаемых не меняет сумму: a + b = b + a. Действительно, при общем начале оба вектора являются сторонами одного параллелограмма, и диагональ из общего начала остаётся прежней, какой бы вектор ни считать первым. По правилу треугольника можно получить тот же вывод: последовательное перемещение в обратном порядке приводит к тому же конечному смещению.

Несколько векторов складывают последовательно: конец каждого предыдущего слагаемого соединяют с началом следующего, а результат проводят от начала первого до конца последнего. Если сгруппировать соседние перемещения иначе, их общий начальный и конечный пункты не изменятся. Поэтому действует сочетательное свойство: (a + b) + c = a + (b + c). Оно позволяет выбирать удобный порядок группировки, не меняя сумму.

Способы сложения векторов и свойства суммы

Таблица подсказывает, какое построение выбрать: последовательное расположение удобно для правила треугольника, а общее начало — для параллелограмма. После построения проверьте начальную и конечную точки результирующего вектора. Для преобразования выражений используйте свойства суммы и равенство суммы противоположных векторов нулевому.

Разбор задач

Задача 1

Постройте сумму векторов AB и BC и укажите её направление. Здесь конец первого вектора уже совпадает с началом второго, поэтому можно сразу применить правило треугольника. Чтобы определить направление суммы, проследим путь от начала первого слагаемого к концу второго.

1. Первый вектор AB ведёт из A в B, второй BC — из B в C.
2. Соединяем начальную точку A с конечной точкой C.
3. Полученный вектор AC и есть сумма; он направлен от A к C.

Ответ: AB + BC = AC. Проверка состоит в том, что путь по двум слагаемым и прямой переход по сумме имеют одинаковые начальную и конечную точки.

Задача 2

Изобразите сумму двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, и сравните два способа её построения. Неколлинеарные векторы не лежат на одной прямой, поэтому вместе с параллельными им сторонами они задают параллелограмм. Сравним диагональ с результатом последовательного откладывания слагаемых.

1. Обозначим общую точку O, а концы векторов a и b — A и B.
2. Через A проводим прямую, параллельную OB, а через B — прямую, параллельную OA. Получаем параллелограмм OACB.
3. По правилу параллелограмма сумма — диагональ OC. Для проверки переносим b так, чтобы его начало было в A: конец перенесённого вектора оказывается в C.
4. По правилу треугольника соединяем O с C. Получается та же диагональ.

Ответ: сумма равна OC; оба способа дают один и тот же вектор. Совпадение подтверждается тем, что и последовательный путь, и диагональ начинаются в O и заканчиваются в C.

Задача 3

Упростите выражение a + b + c + (−b) и объясните, почему преобразование допустимо. Сначала удобно сгруппировать b и −b, хотя в записи между ними стоит слагаемое c. Переставлять и группировать слагаемые разрешают переместительное и сочетательное свойства сложения.

1. Переставим слагаемые: a + b + c + (−b) = a + c + b + (−b).
2. Сгруппируем противоположные векторы: a + c + (b + (−b)).
3. Так как b + (−b) = 0, получаем a + c + 0 = a + c.

Ответ: a + c. Преобразование допустимо благодаря переместительному и сочетательному свойствам, а также тому, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору.

Типичные ошибки

Складывать длины векторов вместо самих векторов — значит игнорировать направления. Эту ошибку допускают, перенося на векторы привычное сложение обычных чисел. Например, противоположные векторы одинаковой длины дают нулевой вектор, а не вектор удвоенной длины. Проверьте построение: сумма должна показывать итоговое перемещение, а её длина зависит от угла между слагаемыми.

При правиле треугольника иногда совмещают начала слагаемых, как при правиле параллелограмма. Так не получается последовательной цепочки: начало второго вектора должно совпадать с концом первого. Ошибка возникает из-за смешения двух способов построения. Перед проведением суммы убедитесь, что можно пройти по первому вектору, а затем сразу по второму.

В параллелограмме можно ошибочно выбрать диагональ, не выходящую из общего начала слагаемых. Тогда полученный вектор не соответствует пути, начинающемуся в точке, от которой отложены оба вектора. Такая путаница возникает потому, что диагонали выглядят равноценными. Для проверки найдите начальную точку обоих слагаемых: именно из неё должна начинаться сумма.

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору не только тогда, когда они нарисованы с совпадающими началами. Место изображения не определяет вектор: важны его длина и направление. Ошибку допускают, принимая рисунок за обязательную часть обозначения. Перенесите один вектор параллельно самому себе и проверьте, что одинаковая длина и противоположные направления обеспечивают взаимное сокращение.

Связь с другими темами

Для сложения нужно знать, что такое вектор, его длина и направление, а также равные векторы: они имеют одинаковую длину и направление. Перенос вектора параллельно самому себе позволяет располагать слагаемые в нужном порядке. Далее сложение используют при разложении вектора на составляющие и в задачах о перемещениях и отношениях между векторами. Если задать векторы координатами, геометрическое построение суммы переходит в сложение соответствующих координат.

Что запомнить

• Сумма векторов определяется правилом треугольника.
• Правило параллелограмма даёт тот же результат, что и правило треугольника.
• Векторы можно переносить параллельно самим себе, не меняя их.
• a + b = b + a.
• (a + b) + c = a + (b + c).
• Сумма противоположных векторов — нулевой вектор.