34.2. Сонаправленность и равенство векторов

Определения и обозначения

Сонаправленные векторы — это коллинеарные ненулевые векторы, направленные в одну сторону. Коллинеарными называют векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Такое понятие позволяет сравнить именно направление векторов, даже если они приложены в разных точках.

Противоположно направленные векторы — коллинеарные ненулевые векторы, направленные в разные стороны. Например, если один вектор указывает вправо, а другой вдоль той же прямой — влево, они противоположно направлены. Различие между этими двумя случаями нужно учитывать, когда сравнивают векторы или читают их обозначения.

Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Их начала и концы могут находиться в разных точках: положение направленного отрезка не меняет вектор, если сохраняются его длина и направление. Это определение удобно тем, что сводит проверку равенства к двум отдельным условиям.

Как это устроено

Чтобы определить сонаправленность по направленным отрезкам, сначала представь прямые, на которых они лежат, а затем проследи, куда движется каждый отрезок от начала к концу. Если прямые совпадают или параллельны, а движение вдоль них происходит в одну сторону, векторы сонаправлены. Такой порядок проверки помогает не перепутать направление с простым расположением прямых.

У двух коллинеарных ненулевых векторов возможны ровно два отношения направлений: они либо совпадают, либо противоположны. Причина в том, что на одной прямой есть две стороны, и каждый ненулевой вектор указывает на одну из них. Параллельность прямых сама по себе не показывает, какую сторону выбрал каждый вектор, поэтому направление нужно сравнивать отдельно.

Для равенства векторов одновременно необходимы одинаковая длина и сонаправленность. Равная длина отвечает за величину вектора, а сонаправленность — за то, куда он указывает. Если длины различаются или направления противоположны, векторы не равны, даже если второе условие выполняется.

Равные векторы можно переносить параллельно, потому что при таком переносе сохраняются длина направленного отрезка и направление от начала к концу. Меняются координаты его начальной и конечной точек, но взаимное положение этих точек остаётся тем же. Поэтому перенесённый вектор считается тем же вектором, а не новым вектором другой величины.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому его длина равна нулю. Направление задаётся тем, куда направлен отрезок от начала к концу, но при совпадающих точках такого движения нет. По этой причине нулевой вектор не называют ни сонаправленным, ни противоположно направленным; обычные определения относятся к ненулевым векторам.

Сравнение сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов

Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: сначала выясни, коллинеарны ли векторы, затем сравни их направления. Для равенства дополнительно сравни длины. Если длины разные, векторы могут быть сонаправленными, но равными они не будут.

Разбор задач

Задача 1

На одной прямой отмечены точки A, B, C так, что B лежит между A и C. Определите, какие из векторов AB и BC сонаправлены. Поскольку точки лежат на одной прямой, векторы коллинеарны. Остаётся выяснить, в какую сторону направлен каждый из них.

1. Вектор AB направлен от A к B.
2. Вектор BC направлен от B к C.
3. Так как B находится между A и C, движение от A к B и от B к C идёт в одну сторону вдоль прямой.

Ответ: векторы AB и BC сонаправлены. Их длины могут быть разными, но для сонаправленности это несущественно. Здесь решающим оказалось расположение точки B между A и C.

Задача 2

Даны два коллинеарных вектора длинами 4 и 7, направленные в разные стороны. Можно ли считать их равными? В условии уже сказано, что векторы коллинеарны и направлены противоположно. Для равенства нужно, чтобы совпали и длины, и направления.

1. Сравним длины: 4 ≠ 7, значит, первое условие равенства не выполнено.
2. Сравним направления: векторы направлены в разные стороны, следовательно, их направления не совпадают.
3. Достаточно было бы обнаружить невыполнение хотя бы одного условия, но здесь не выполнены оба.

Ответ: векторы не равны. Коллинеарность не меняет вывод, поскольку она не гарантирует ни одинаковых длин, ни совпадения направлений. Для равенства должны одновременно выполняться оба условия.

Задача 3

В параллелограмме ABCD сравните векторы AB и DC, а также AB и CD: установите, какие пары равны и какие направлены противоположно. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому нужные векторы коллинеарны и имеют равные длины. Однако направление зависит от порядка букв, который задаёт путь от первой точки ко второй.

1. Вектор AB направлен от A к B, а вектор DC — от D к C.
2. При обходе параллелограмма A–B–C–D–A отрезки AB и DC направлены в одну сторону вдоль параллельных сторон.
3. Вектор CD направлен от C к D, то есть противоположно направлению DC и, следовательно, AB.
4. Сравним условия равенства: AB и DC имеют одинаковые длины и сонаправлены; AB и CD имеют одинаковые длины, но противоположные направления.

Ответ: AB = DC; векторы AB и CD противоположно направлены и не равны. При сравнении важно не просто увидеть параллельные стороны, но и проследить направление от первой буквы к второй. Именно поэтому изменение порядка букв может изменить вывод.

Типичные ошибки

Ошибка — считать сонаправленными любые векторы на параллельных прямых. Её допускают, когда смотрят только на положение прямых и не учитывают стрелки направленных отрезков. Проверь себя: мысленно пройди каждый вектор от начала к концу и сравни стороны, в которые они указывают.

Ошибка — считать коллинеарные векторы равными. Коллинеарность говорит лишь о расположении прямых, а длины и направления могут отличаться. Перед выводом о равенстве отдельно проверь длины и то, направлены ли векторы в одну сторону.

Ошибка — признавать векторы равными только по одинаковой длине. Так бывает, если величину вектора путают со всем вектором, хотя одинаковые длины не означают одинакового направления. Проверь, куда направлена каждая стрелка: при противоположных направлениях векторы не равны.

Ошибка — не учитывать порядок букв в обозначении. Например, AB направлен от A к B, а BA — от B к A, поэтому эти векторы противоположно направлены. Чтобы проверить себя, всегда читай обозначение как движение от первой точки ко второй.

Связь с другими темами

Для работы с направленными отрезками нужно знать, что вектор задаётся началом и концом, и уметь находить его длину. Эти знания позволяют отдельно проверить направление и величину, а затем установить равенство векторов. Если забыть порядок точек или способ нахождения длины, сравнение может оказаться неверным.

Равенство векторов используется при сложении и вычитании: параллельный перенос помогает расположить векторы удобным образом, не меняя их. Оно также пригодится в задачах на параллелограммы и координаты. В этих темах свойства направлений и длин превращаются в удобный способ обосновать равенство векторов.

Что запомнить

• Сонаправленные векторы коллинеарны и направлены в одну сторону.
• Противоположно направленные векторы коллинеарны и направлены в разные стороны.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Точки приложения у равных векторов могут быть разными.
• Коллинеарность сама по себе не означает равенство.
• Направление нулевого вектора не определено.