34.1. Понятие вектора

Определения и обозначения

Направленный отрезок — это отрезок, у которого указаны начало и конец; его обозначают двумя буквами со стрелкой над ними, например A⃗B⃗. Буквы записывают в порядке движения от начальной точки к конечной. Такое обозначение позволяет точно передать направление, а не только расстояние между точками.

Вектор — направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до параллельного переноса; его обозначают латинской буквой со стрелкой, например a⃗. Перенос не меняет самого вектора, поэтому его изображение можно расположить в удобном месте. Это позволяет сравнивать перемещения, не привязывая их к конкретным точкам.

Длина, или модуль, вектора — длина любого направленного отрезка, представляющего этот вектор; обозначение — |a⃗|. Поскольку изображения одного вектора имеют одну и ту же длину, для нахождения модуля достаточно измерить любой из них. Модуль показывает величину вектора независимо от его направления.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают; его длина равна нулю. Его обозначают 0⃗. Это понятие нужно, чтобы учитывать перемещение, при котором объект остаётся в исходной точке.

Как это устроено

Направление направленного отрезка читают от начала к концу, поэтому порядок точек имеет значение. Если начать движение из A и закончить в B, получится A⃗B⃗; движение из B в A будет обратным. Например, эти отрезки лежат на одной прямой и имеют одинаковую длину, но указывают в противоположные стороны. Значит, перестановка букв меняет направление и задаёт другой направленный отрезок.

Вектор можно изобразить разными направленными отрезками, потому что его положение не входит в определение. При параллельном переносе начальная и конечная точки смещаются на одинаковое расстояние в одном направлении. Расстояние между концами не меняется, и сам отрезок не поворачивается. Поэтому длина и направление остаются прежними, а новый отрезок изображает тот же вектор.

Равными называют векторы одинаковой длины и одинакового направления. Одной длины недостаточно: два отрезка могут быть равны по размеру, но указывать в разные стороны. Совпадение направления тоже не заменяет сравнение длины: короткий и длинный отрезки соответствуют разным векторам. Проверка обоих признаков позволяет считать равные векторы одним объектом, даже если они приложены к разным точкам.

Длина вектора не зависит от выбранного изображения, потому что все направленные отрезки, представляющие один вектор, равны по длине. Это следует из того, что один отрезок можно получить из другого параллельным переносом, который сохраняет расстояния. Поэтому модуль — характеристика самого вектора, а не его расположения на чертеже. Если при переносе отрезок кажется длиннее или короче, нужно проверить точность рисунка.

У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому отрезок не указывает, в какую сторону двигаться. Невозможно выделить направление по двум совпавшим точкам. Такой вектор всё же учитывают как отдельный объект: его модуль равен нулю. Его можно представить направленным отрезком с совпадающими концами.

Основные характеристики векторов

Используй таблицу, чтобы отличать сам вектор от его изображения и быстро сверять признаки равенства. При сравнении сначала проверь длины, затем направления. Для нулевого вектора отдельно отметь совпадение концов и нулевую длину.

Разбор задач

Задача 1. Начертите направленный отрезок AB и укажите его начало, конец и направление. Нужно не просто провести отрезок, но и обозначить, откуда и куда направлено движение. Стрелка на чертеже должна указывать на конечную точку.

1. Отметьте на плоскости две различные точки A и B и соедините их отрезком.
2. Поставьте стрелку у точки B: запись A⃗B⃗ читается «из A в B». Значит, A — начало, а B — конец.
3. Проверьте запись по порядку букв: первая буква соответствует началу, вторая — концу. Если стрелка направлена к A, чертёж не соответствует обозначению.

Ответ: начало — A, конец — B, направление — от A к B. Расстояние между точками задаёт длину этого направленного отрезка, но не меняет направление. При записи B⃗A⃗ получилось бы обратное направление.

Задача 2. Даны два направленных отрезка одинаковой длины на параллельных прямых. Определите, представляют ли они один вектор, если их направления совпадают. Здесь важно понять, достаточно ли расположения на параллельных прямых для сравнения. Решение требует проверить признаки равенства векторов.

1. Сравните длины: по условию они одинаковы, значит, первый признак равенства выполнен.
2. Сравните направления: в условии сказано, что они совпадают, следовательно, выполнен и второй признак.
3. Общее начало не требуется: отрезки можно параллельно переносить, сохраняя длину и направление. Поэтому различие их положения не мешает признать векторы равными.

Ответ: да, оба направленных отрезка представляют один и тот же вектор. Если бы направления были противоположными, равенства не было бы даже при одинаковых длинах. Параллельность прямых сама по себе не заменяет проверку направления.

Задача 3. На чертеже есть несколько направленных отрезков; выберите те, которые представляют вектор a⃗, и найдите изображение нулевого вектора. Для сравнения нужно рассматривать каждый кандидат целиком, а не ориентироваться только на его положение или длину. Нулевой вектор ищут по совпадению начальной и конечной точек.

1. Для каждого отрезка сравните длину с длиной изображения a⃗. Отметьте только те, которые имеют одинаковую длину.
2. Среди отмеченных проверьте направление: оно должно совпадать с направлением a⃗. Отрезки, направленные в обратную сторону, исключите.
3. Отдельно найдите отрезок с совпавшими концами. Он изображает нулевой вектор и имеет нулевую длину.

Ответ: вектор a⃗ изображают все отрезки, совпадающие с ним по длине и направлению; нулевой вектор изображает отрезок с совпавшими концами. Без самого чертежа нельзя назвать конкретные отрезки по буквам. Однако проверка по двум признакам позволяет решить такую задачу на любом рисунке.

Типичные ошибки

• Считать, что равные векторы обязательно имеют общее начало, — ошибка: положение отрезков не определяет равенство. Так думают, когда смешивают вектор с конкретным направленным отрезком на чертеже. Проверьте себя переносом одного отрезка: если длина и направление сохраняются, вектор тот же.

• Считать равными любые векторы одинаковой длины неверно, потому что их направления могут различаться. Ошибку часто вызывает сравнение только размера нарисованных стрелок. Проверьте, куда указывает каждая стрелка: для равенства направления тоже должны совпасть.

• Путать A⃗B⃗ с B⃗A⃗ — значит забывать, что первая точка задаёт начало. Это происходит, если читать обозначение как название отрезка без учёта порядка букв. Чтобы проверить себя, мысленно пройдите путь от первой буквы ко второй и сравните его со стрелкой.

• Приписывать нулевому вектору определённое направление нельзя: его начало и конец совпадают. На рисунке иногда пытаются нарисовать у него стрелку в произвольную сторону, забывая о совпавших точках. Проверьте, равны ли координаты начала и конца: если да, длина нулевая и направления нет.

Связь с другими темами

Для изучения векторов нужно различать отрезок и его длину, понимать, что такое параллельные прямые, и уметь задавать направление движения от одной точки к другой. Эти знания помогают читать запись направленного отрезка и сравнивать его изображения. Векторный язык пригодится при изучении действий с векторами и координат вектора. Он также помогает решать геометрические задачи, описывая перемещения и отношения между фигурами.

Что запомнить

• Вектор задаётся направлением и длиной.
• Вектор изображают направленным отрезком.
• Разные направленные отрезки могут представлять один и тот же вектор.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Перестановка начала и конца направленного отрезка меняет направление.
• Длина нулевого вектора равна нулю.