§ 12. Понятие вектора

Определения и обозначения

Направленный отрезок — это отрезок, у которого указаны начало и конец. Его обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой сверху: \\overrightarrow{AB}, где A — начало, а B — конец. Такое обозначение позволяет понять, в какую сторону направлен отрезок, а не только где находятся его концы.

Вектор — направленный отрезок, для которого важны длина и направление, а конкретное положение на плоскости несущественно. Вектор обозначают маленькой буквой со стрелкой, например a⃗, или двумя заглавными буквами со стрелкой сверху, например \\overrightarrow{AB}. Это понятие нужно, чтобы описывать направленное движение и сравнивать отрезки, даже если они изображены в разных местах.

Длина вектора — это длина соответствующего направленного отрезка. Длину вектора a⃗ записывают как |a⃗|, а длину вектора \\overrightarrow{AB} — как |\\overrightarrow{AB}|; она равна длине отрезка AB. Длина не может быть отрицательной, а нулевой она бывает, когда начало и конец совпадают.

Нулевой вектор — это вектор, начало и конец которого находятся в одной точке. Его обозначают 0⃗ или, например, \\overrightarrow{AA}; его длина равна нулю. Он нужен в геометрии как особый вектор, хотя определить направление такого вектора нельзя.

Как это устроено

Один и тот же вектор можно изобразить несколькими направленными отрезками, потому что сам вектор не привязан к конкретному месту. Если параллельно перенести отрезок, его длина не изменится, а направление останется прежним. Поэтому все такие отрезки считаются разными изображениями одного вектора. Это удобно, когда нужно расположить начало вектора в заданной точке, не меняя сам вектор.

Начало и конец задают направление: для \\overrightarrow{AB} движение идёт от A к B. Стрелка в обозначении и на рисунке помогает не перепутать, откуда и куда направлен вектор. Если поменять буквы местами, получится \\overrightarrow{BA}: длина останется той же, но движение будет от B к A. Значит, \\overrightarrow{AB} и \\overrightarrow{BA} противоположно направлены.

Чтобы сравнить два вектора, нужно отдельно проверить их длины и направления. Они равны, только если длины совпадают и направления совпадают; при этом их изображения могут находиться в разных частях плоскости. Одинаковой длины недостаточно: если стрелки направлены в разные стороны, векторы не равны. Такое сравнение позволяет отличить вектор как геометрический объект от конкретного отрезка, которым он нарисован.

Нулевой вектор изображают точкой, поскольку его начало и конец совпадают и отрезок между ними имеет нулевую длину. По такой точке нельзя понять, куда направлен вектор, поэтому направление нулевого вектора не определяется. Однако он остаётся вектором и участвует в геометрических правилах наравне с другими векторами. В обозначении \\overrightarrow{AA} это свойство видно сразу: обе буквы указывают на одну точку.

Векторы называют коллинеарными, если их носители лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Носитель — прямая, на которой расположен направленный отрезок; сравнение этих прямых помогает установить коллинеарность, даже если векторы далеко друг от друга. Коллинеарные векторы могут смотреть в одну сторону или в противоположные стороны. Их длины также могут различаться, поэтому коллинеарность сама по себе не означает равенства.

Основные виды и характеристики векторов

Используй таблицу как памятку: сначала найди признак, который проверяешь, затем сравни его условие с изображёнными векторами. Для равенства обязательно проверяй и длину, и направление, а для коллинеарности — расположение носителей. Не делай вывод о равенстве только потому, что векторы лежат на параллельных прямых.

Разбор задач

Задача 1. Сравнение векторов

На рисунке даны направленные отрезки AB и CD. Определить, равны ли векторы \\overrightarrow{AB} и \\overrightarrow{CD}, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Их положение на рисунке может быть разным, но это не является условием равенства и не мешает ему. Проверим оба главных признака по очереди.

1. Сравниваем длины: по условию они одинаковы.
2. Сравниваем направления: по условию они также одинаковы.
3. Положение отрезков не учитываем, потому что оно не влияет на вектор.

Ответ: \\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{CD}. Если бы совпала только длина, но направления различались, равенства не было бы.

Задача 2. Построение равного вектора

Даны точки A, B и C. Требуется построить вектор, равный \\overrightarrow{AB}, с началом в точке C. Значит, новый вектор должен иметь ту же длину и направление от A к B. Для этого переносим направленный отрезок AB так, чтобы его начало оказалось в C, и сохраняем его свойства.

1. Через точку C проводим прямую, параллельную AB.
2. На этой прямой откладываем от C отрезок длиной AB в сторону, соответствующую направлению от A к B.
3. Обозначаем полученный конец точкой D. Тогда построенный вектор — \\overrightarrow{CD}.

Ответ: \\overrightarrow{CD} = \\overrightarrow{AB}. Если направление от A к B задаёт движение вправо, то от C также откладываем отрезок вправо; если оно задаёт движение влево, откладываем влево.

Задача 3. Несколько признаков векторов

Для данных векторов требуется определить длины, назвать нулевой вектор и установить, какие пары равны, противоположны или коллинеарны. Без конкретного рисунка нельзя перечислить пары, поэтому разберём порядок проверки, который можно применить к любому чертежу. Каждому признаку соответствует свой вопрос: не смешивай длину, направление и расположение прямых.

1. Для каждого вектора измеряем длину его направленного отрезка; если начало и конец совпали, длина равна нулю.
2. Нулевым называем вектор, начало и конец которого совпадают.
3. Для каждой пары сравниваем длины и направления: при совпадении обоих признаков векторы равны.
4. Проверяем коллинеарность по носителям. Если носители параллельны или совпадают, векторы коллинеарны; при противоположных стрелках они направлены противоположно.

Ответ: длины находятся по соответствующим отрезкам, нулевой вектор определяется по совпадению концов, остальные пары классифицируются проверкой направления и носителей. Численные значения и названия конкретных пар зависят от данных векторов.

Типичные ошибки

Ошибка — считать векторами только отрезки, нарисованные в одном месте. Так происходит, если вектор путают с его изображением. Проверь себя: мысленно перенеси один отрезок параллельно, не меняя длину и направление; он всё ещё изображает тот же вектор.

Ошибка — признавать векторы равными только по одинаковой длине. При этом забывают проверить, куда направлены стрелки. Для самопроверки назови оба признака равенства: длины должны совпадать, и направления тоже должны совпадать.

Ошибка — путать \\overrightarrow{AB} и \\overrightarrow{BA}. Буквы переставлены, поэтому изменилось направление, хотя длина отрезка AB осталась прежней. Проверяй порядок: первая буква обозначает начало, вторая — конец, а стрелка показывает движение от первой точки ко второй.

Ошибка — приписывать нулевому вектору конкретное направление. Её допускают, потому что обычно у изображённого отрезка есть стрелка, указывающая движение. У нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому направления нет; проверить себя можно по его длине, равной нулю.

Связь с другими темами

Для изучения векторов понадобятся понятия отрезка и его длины, параллельных прямых и направления движения по отрезку. В дальнейшем векторы складывают, вычитают, умножают на число и записывают с помощью координат, поэтому понимание направления и равенства станет основой этих действий. В физике векторами описывают перемещение, скорость и силу: для таких величин важны не только размер, но и направление.

Что запомнить

• Вектор — направленный отрезок.
• У вектора есть начало, конец, направление и длина.
• Обозначение вектора содержит буквы его начала и конца.
• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Нулевой вектор имеет длину, равную нулю.
• Векторы \\overrightarrow{AB} и \\overrightarrow{BA} противоположно направлены.
• Положение изображающего вектор отрезка не влияет на сам вектор.