§ 13. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координатная запись вектора — это пара чисел, заключённая в скобки: например, a = (3; −2). Первое число задаёт изменение абсциссы, второе — изменение ординаты при перемещении вдоль вектора. Такая запись позволяет работать с вектором, даже если он не изображён на чертеже. По ней удобно выполнять вычисления и сравнивать векторы.

Координатами вектора называют числа, показывающие, как изменяются координаты точки при движении от начала вектора к его концу. Например, координаты (3; −2) означают, что нужно сдвинуться на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Поэтому знак каждой координаты связан с направлением перемещения по соответствующей оси. Это помогает перевести геометрическое движение на плоскости в вычисление.

Равными называют векторы, у которых совпадают соответствующие координаты: первые с первыми, вторые со вторыми. Они могут быть изображены в разных местах плоскости, но иметь одинаковые длину и направление. Координатная проверка позволяет установить равенство без измерения отрезков на рисунке. Достаточно сопоставить обе пары чисел.

Нулевой вектор — это вектор с координатами (0; 0). Он не задаёт перемещения: его начало и конец совпадают. Нулевой вектор возникает, например, когда точка переходит сама в себя. Его координатная запись помогает узнавать отсутствие изменения в вычислениях.

Как это устроено

Пусть начало вектора AB — точка A(x₁; y₁), а конец — B(x₂; y₂). Чтобы узнать, насколько изменилась абсцисса, нужно из конечной координаты x₂ вычесть начальную x₁; для ординат так же вычитают y₁ из y₂. Поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Такой порядок отражает само перемещение: сначала фиксируется исходное положение, затем определяется, насколько конечное от него отличается.

Координаты равных векторов совпадают, даже если векторы расположены в разных местах плоскости. Вектор описывает не положение своей начальной точки, а перемещение: его величина и направление задаются изменениями по двум осям. Если эти изменения одинаковы, перенос из начала в конец получается одинаковым. Значит, сравнивать нужно координаты, а не положение векторов на чертеже.

Сложение векторов означает последовательное выполнение двух перемещений. Изменения по горизонтали складываются между собой, и отдельно складываются изменения по вертикали, поэтому a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂). Разность a − b можно рассматривать как сложение a с вектором, противоположным b. Отсюда получается почленное вычитание: a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂).

При умножении вектора на число каждое его перемещение увеличивается или уменьшается в одинаковое количество раз. Поэтому для a = (x₁; y₁) получаем k·a = (kx₁; ky₁). Если k положительно, направление сохраняется; если k отрицательно — обе составляющие меняют знаки, и вектор направлен в противоположную сторону. При k = 0 обе координаты становятся нулевыми.

Равенство проверяют сравнением двух пар координат: должны совпасть и первые числа, и вторые. Для противоположных векторов координаты одной пары равны соответствующим координатам другой пары с обратными знаками. Векторы коллинеарны, если один можно получить из другого умножением на одно число; например, (2; 4) и (1; 2) коллинеарны, так как первый вдвое больше второго. Такая проверка особенно удобна, когда координаты простые и общий множитель легко заметить.

Действия и свойства векторов в координатах

Сначала определите, какая ситуация описана в условии, и выберите соответствующую строку. Затем подставьте координаты и выполняйте действия отдельно в каждой позиции пары. В конце проверьте знаки и то, что результат записан как пара координат.

Разбор задач

Координаты вектора по двум точкам

Даны точки A(−3; 5) и B(4; −1). Найдите координаты вектора AB. Вектор направлен от A к B, поэтому координаты точки A будут начальными, а координаты B — конечными. В каждой позиции пары вычтем начальную координату из конечной.

1. Для первой координаты: 4 − (−3) = 7.
2. Для второй координаты: −1 − 5 = −6.
3. Записываем полученные числа в порядке «абсцисса; ордината».

Ответ: AB = (7; −6). Положительная первая координата означает движение вправо, а отрицательная вторая — вниз. Значит, направление результата согласуется с переходом от A к B.

Действия с координатами и проверка равенства

Даны a = (2; −3) и b = (−1; 4). Найдите 2a − b и проверьте, равен ли результат вектору c = (5; −10). Сначала нужно умножить обе координаты a на 2, а затем вычесть из полученной пары координаты b. Только после вычисления сравниваем ответ с c.

1. Умножаем: 2a = (2·2; 2·(−3)) = (4; −6).
2. Вычитаем почленно: 2a − b = (4 − (−1); −6 − 4) = (5; −10).
3. Сравниваем с c = (5; −10): обе координаты совпадают.

Ответ: 2a − b = (5; −10), этот вектор равен c. При вычитании отрицательной первой координаты получилось сложение: 4 − (−1) = 5. Равенство подтверждено проверкой обеих координат.

Координаты конца по началу и вектору

Даны точка A(−2; 3) и вектор AB = (5; −7). Нужно определить координаты B и проверить результат. Координаты вектора показывают, что от A нужно сдвинуться на 5 по горизонтали и на −7 по вертикали. Поэтому соответствующие координаты перемещения прибавляем к координатам A.

1. Абсцисса точки B: −2 + 5 = 3.
2. Ордината точки B: 3 + (−7) = −4.
3. Проверяем: координаты AB = (3 − (−2); −4 − 3) = (5; −7).

Ответ: B(3; −4). Проверка вернула исходные координаты вектора, значит, точка найдена верно. Обратное вычисление удобно использовать, если есть сомнение в знаке или порядке действий.

Типичные ошибки

Первая ошибка — вычесть координаты конца из координат начала, хотя вектор направлен от начала к концу. Так меняют направление и получают координаты противоположного вектора; причина обычно в том, что формулу не связывают с перемещением. Перед вычислением подпишите, какая точка начальная, и проверьте результат на простом рисунке: знак должен показывать направление движения.

Вторая ошибка — выполнять действия между разными компонентами, например складывать первую координату одного вектора со второй координатой другого. Это происходит, когда пару чисел воспринимают как единый набор, а не как изменения по двум разным осям. Выполняйте вычисления в отдельных колонках: первая с первой, вторая со второй; проверьте, что в результате снова получилась пара.

Третья ошибка — считать векторы равными только из-за одинаковой длины или направления. Но равенство требует совпадения и направления, и длины, поэтому одного признака недостаточно; это легко упустить при сравнении чертежей. Проверьте обе координаты: если хотя бы одна не совпала, векторы не равны.

Четвёртая ошибка — умножить на число только одну координату или забыть поменять знаки при отрицательном множителе. Обычно внимание сосредотачивают на первой компоненте и не переносят действие на вторую. Записывайте умножение в скобках для обоих чисел и проверяйте: при отрицательном k знаки обеих ненулевых координат должны измениться.

Связь с другими темами

Для работы с координатами векторов нужны навыки чтения координатной плоскости, определения координат точки и действий с положительными и отрицательными числами. Также необходимо уметь изображать вектор, различать его начало и конец и находить разность координат. Эти умения помогают переводить рисунок в вычисления и проверять полученный результат. Позже координаты векторов пригодятся при изучении скалярного произведения, перпендикулярности и решении геометрических задач аналитическим методом.

Что запомнить

• Координаты вектора AB находят как координаты конца минус координаты начала.
• Координаты равных векторов соответственно равны.
• Складывать и вычитать векторы можно почленно.
• При умножении вектора на число на это число умножаются обе координаты.
• Нулевой вектор имеет координаты (0; 0).
• Направление вектора AB противоположно направлению вектора BA.