47. Координаты вектора

Определения и обозначения

Координатные векторы i, j, k — единичные векторы, сонаправленные соответственно с положительными направлениями осей Ox, Oy, Oz. Единичный вектор имеет длину 1, поэтому он задаёт направление и служит удобной мерой для составляющих других векторов. Три таких направления позволяют описывать векторы в пространстве, а не только на плоскости. Буквы i, j, k помогают записывать составляющие вектора кратко и понятно.

Разложение вектора по координатным векторам — представление a = xi + yj + zk, где x, y, z — числа. Каждое число показывает вклад вектора вдоль одной из осей: x связан с i, y — с j, z — с k. Такое представление позволяет перейти от геометрического объекта к вычислениям с числами. Оно однозначно задаёт вектор, если направления координатных векторов уже выбраны.

Координаты вектора — числа x, y, z, задающие его разложение по координатным векторам; вектор записывают в скобках: a = (x; y; z). Например, координаты (2; −1; 3) означают две единицы вдоль Ox, одну единицу в направлении, противоположном Oy, и три единицы вдоль Oz. Запись показывает те же составляющие, что и разложение, но не требует каждый раз указывать i, j, k. Она нужна, чтобы быстро сравнивать векторы и выполнять действия с ними.

Как это устроено

Прямоугольная система координат задаёт три взаимно перпендикулярные оси, поэтому движение в пространстве можно представить как три отдельных изменения — вдоль Ox, Oy и Oz. На каждой оси выбирают единичный вектор в положительном направлении. Единица фиксирует масштаб, а положительное направление задаёт, какой знак считать плюсом. Благодаря этому составляющие любого вектора можно выразить числами относительно одного и того же набора направлений.

Вектор раскладывают на составляющие вдоль координатных направлений: xi направлен вдоль первой оси, yj — второй, zk — третьей. Сложение этих составляющих даёт исходный вектор, потому что их совместное перемещение приводит из его начала в конец. Коэффициенты x, y, z могут быть положительными, отрицательными или нулевыми: знак показывает направление составляющей, а ноль означает, что вдоль соответствующей оси перемещения нет. Поэтому координаты записывают как упорядоченную тройку (x; y; z).

Пусть начало вектора AB — точка A(x₁; y₁; z₁), а конец — B(x₂; y₂; z₂). Чтобы перейти от A к B, нужно изменить первую координату на x₂ − x₁, вторую на y₂ − y₁, третью на z₂ − z₁, значит, AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Именно поэтому вычитают координаты начала из координат конца: получаются изменения, необходимые для перехода. Порядок вычитания сохраняет направление от A к B.

Равные векторы имеют одинаковые координаты, даже если их начала расположены в разных точках: координаты описывают длину и направление, а не место в пространстве. У противоположного вектора направление меняется на обратное, поэтому знаки всех трёх координат становятся противоположными. Например, если a = (x; y; z), то −a = (−x; −y; −z). Такая запись согласуется с тем, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору.

При сложении или вычитании векторов складывают или вычитают одноимённые составляющие: вдоль Ox — с Ox, вдоль Oy — с Oy, вдоль Oz — с Oz. Это следует из разложения каждого вектора по одним и тем же направлениям. При умножении на число каждая составляющая изменяется в одно и то же число раз, поэтому умножают все координаты. Отрицательный множитель дополнительно меняет направление вектора, а нулевой превращает его в нулевой вектор.

Действия с векторами в координатной форме

В таблице собраны правила для трёх координат: x, y, z у вектора a и соответствующих координат у вектора b. Используй одну строку для нужного действия и выполняй его отдельно в каждом столбце-координате. При поиске координат AB сначала определи, какая точка является началом, а какая — концом.

Разбор задач

Даны точки A(2; −1; 3) и B(5; 0; −2). Найдите координаты вектора AB. Сначала выясним, откуда и куда направлен вектор: его начало находится в A, конец — в B. Поэтому для каждой координаты применяем правило «конец минус начало».

1. Записываем координаты точек по порядку: A(2; −1; 3), B(5; 0; −2).
2. Вычитаем координаты A из соответствующих координат B: 5 − 2 = 3, 0 − (−1) = 1, −2 − 3 = −5.
3. Объединяем результаты в тройку координат вектора AB.

Ответ: AB = (3; 1; −5). Отрицательная третья координата означает, что перемещение по оси Oz направлено против её положительного направления. Проверка знаков особенно полезна, когда одна из координат точки отрицательна.

Векторы a = (2; −3; 1) и b = (−1; 4; 2). Найдите координаты 2a − b. Здесь нужно выполнить два действия с координатами: сначала умножить каждую координату a на 2, затем вычесть соответствующие координаты b. Не следует вычитать целые тройки как единое число — каждая позиция вычисляется отдельно.

1. Умножаем все координаты a на 2: 2a = (4; −6; 2).
2. Вычитаем координаты b по компонентам: 4 − (−1) = 5, −6 − 4 = −10, 2 − 2 = 0.
3. Записываем полученные три результата в прежнем порядке.

Ответ: 2a − b = (5; −10; 0). Ноль в третьей координате показывает, что результирующий вектор не имеет составляющей вдоль Oz. При проверке отдельно проследи за знаками: вычитание отрицательного числа превращается в сложение.

Найдите координаты точки B, если A(−2; 1; 4) и AB = (3; −5; 2). Вектор AB показывает, на сколько нужно изменить координаты A, чтобы получить B. Поэтому здесь не вычитают координаты точек, а прибавляют координаты вектора к координатам начала. Каждую координату складывают только с соответствующей ей.

1. Записываем координаты начала и составляющие вектора: A(−2; 1; 4), AB = (3; −5; 2).
2. Находим первую координату B: −2 + 3 = 1.
3. Находим вторую и третью: 1 + (−5) = −4, 4 + 2 = 6.

Ответ: B(1; −4; 6). Проверим обратным действием: из координат B вычтем координаты A и получим (3; −5; 2), то есть исходный вектор AB. Такая проверка помогает заметить ошибку в знаках или порядке действий.

Типичные ошибки

При вычислении AB иногда вычитают координаты конца из координат начала. Ошибка возникает, если не учесть, что вектор направлен от A к B, и механически переставить точки. Сначала подпиши начало и конец, затем в каждой координате запиши «B минус A». Проверка: прибавь найденный вектор к координатам A — должны получиться координаты B.

Другая ошибка — складывать координаты не по соответствующим компонентам, например, первую координату одного вектора со второй координатой другого. Так теряется смысл составляющих: они направлены вдоль разных осей. Располагай тройки векторов в одном порядке и действуй отдельно по позициям x, y, z. Проверить результат можно, убедившись, что в нём тоже ровно три координаты и каждая получена из соответствующей пары.

При умножении на число ученик может умножить только одну или две координаты, оставив остальные без изменения. Обычно это происходит, когда множитель воспринимают как действие над частью записи, а не над всем вектором. Поставь множитель перед каждой координатой и проверь все три произведения. Например, для k(x; y; z) должны измениться x, y и z, даже если одна координата равна нулю.

Можно ошибочно решить, что координаты вектора меняются вместе с его положением в пространстве. Такое впечатление возникает, если координаты вектора путают с координатами его начала и конца. Перенос вектора параллельно самому себе не меняет его длину и направление, поэтому координаты остаются прежними. Для проверки сравни изменения вдоль каждой оси: у равных векторов они совпадают, даже если точки приложения разные.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора нужно уметь задавать прямоугольную систему координат в пространстве, читать координаты точки и пользоваться обозначениями векторов. Разложение опирается на представление вектора через три некомпланарных вектора, то есть векторов, не лежащих в одной плоскости, и на свойства равных векторов. Позже координатная запись поможет вычислять длину вектора, проверять коллинеарность и решать задачи на скалярное произведение. Значит, она связывает геометрическое представление векторов с вычислительными методами.

Что запомнить

• Вектор a = (x; y; z) задаётся тремя координатами.
• Координаты вектора AB равны координатам конца минус координаты начала.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• Координаты суммы и разности находят по компонентам.
• При умножении вектора на число умножают каждую его координату.
• Координаты противоположного вектора противоположны координатам исходного.