48. Связь между координатами векторов и координатами точек

Определения и обозначения

Координаты точки в пространстве — тройка чисел, задающая положение точки относительно выбранной прямоугольной системы координат. Запись A(x; y; z) означает, что точка A имеет координаты x, y и z по трём осям. Тройка позволяет однозначно описать положение точки и использовать его в вычислениях.

Радиус-вектор точки — вектор, направленный из начала координат O к этой точке. Его обозначают OA, если точка называется A. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами точки, поэтому он связывает описание положения точки с координатами вектора.

Координаты вектора — числа, задающие разложение вектора по координатным векторам. Например, запись (a; b; c) показывает, какие коэффициенты стоят при трёх направлениях координатных осей. Эти числа позволяют выполнять действия с векторами без изображения в пространстве.

Координатные векторы — единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. Каждый из них задаёт одно из трёх основных направлений, а единичная длина служит мерой перемещения по соответствующей оси. По этим векторам любой пространственный вектор можно представить тремя координатами.

Как это устроено

Прямоугольные координатные оси задают три независимых направления в пространстве. Вдоль каждой оси выбирают единичный координатный вектор, то есть вектор длины 1, направленный в положительную сторону оси. Любое перемещение можно разложить на составляющие вдоль этих направлений: число перед каждым координатным вектором показывает величину и знак перемещения по соответствующей оси. Так и получается тройка координат вектора.

Положение точки A можно описать перемещением из начала координат O в эту точку. Это перемещение задаёт радиус-вектор OA. Если точка имеет координаты (x; y; z), для попадания в неё нужно пройти x единиц по первой оси, y по второй и z по третьей, учитывая знаки чисел. Поэтому разложение радиус-вектора имеет те же коэффициенты, что и запись координат точки.

Чтобы выразить AB через радиус-векторы, можно сначала пройти из O в A, а затем от A к B: OA + AB = OB. Отсюда AB = OB − OA. Если координаты A равны (x₁; y₁; z₁), а B — (x₂; y₂; z₂), вычитание радиус-векторов даёт AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Начальный участок пути OA убирается, и остаётся только перемещение от A до B.

Формула находит координаты вектора по координатам начала и конца: для каждой оси из координаты конца вычитают координату начала. Координата x вектора зависит только от x-координат точек, y — только от y, а z — только от z. Это следует из независимости координатных направлений: перемещение по одной оси не меняет положение по двум другим.

Вычитание одинаково работает для вектора любой длины и любого направления, потому что координаты описывают его составляющие, а не задают заранее длину или направление. Знак каждой составляющей указывает, в какую сторону направлено перемещение по оси, а её величина — насколько оно велико. Например, отрицательная координата означает движение против положительного направления соответствующей оси. Поэтому правило B − A не меняется при повороте вектора или изменении его длины.

Связь координат точек и вектора

Для вектора между двумя точками сначала определите, какая из них является началом, а какая — концом, и только затем подставляйте координаты в формулу. При поиске неизвестной точки можно переставить слагаемые: координаты конца равны координатам начала плюс координаты вектора. Таблица также показывает, что при обращении направления все три координаты меняют знак.

Разбор задач

Задача 1. Даны A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Найдите координаты вектора AB.

1. Вектор направлен от A к B, поэтому координаты конца B нужно уменьшить на координаты начала A.
2. По первой оси: 4 − 1 = 3. По второй: 0 − (−2) = 2, поскольку вычитание отрицательного числа превращается в сложение.
3. По третьей оси: −1 − 3 = −4. Собираем результаты в том же порядке координат.

Ответ: AB = (3; 2; −4).

Задача 2. Даны A(−2; 1; 0) и вектор AB = (3; −4; 2). Найдите координаты точки B.

1. В координатах вектора AB стоят разности координат B и A. Значит, чтобы найти координаты конца, нужно к координатам начала прибавить координаты вектора.
2. Для первой координаты: x₂ = −2 + 3 = 1. Для второй: y₂ = 1 + (−4) = −3.
3. Для третьей координаты: z₂ = 0 + 2 = 2. Записываем полученную тройку для точки B.

Ответ: B(1; −3; 2).

Задача 3. Даны A(1; 2; −1), B(4; 0; 3), C(−2; 5; 1). Найдите координаты точки D, если AB = CD.

1. Сначала находим координаты AB: B − A = (4 − 1; 0 − 2; 3 − (−1)) = (3; −2; 4).
2. Пусть D(x; y; z). Тогда CD = (x − (−2); y − 5; z − 1), то есть (x + 2; y − 5; z − 1).
3. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Получаем x + 2 = 3, y − 5 = −2, z − 1 = 4, откуда x = 1, y = 3, z = 5.

Ответ: D(1; 3; 5).

Типичные ошибки

Вычитание координат конца из координат начала. Так получают координаты вектора, направленного противоположно заданному. Ошибка возникает, если не проследить направление стрелки. Проверьте порядок: для AB всегда вычисляется B − A.

Перестановка точек в формуле для AB. Вектор BA имеет координаты, противоположные координатам AB, поскольку направление меняется на обратное. Путаница часто появляется из-за того, что обе точки записаны рядом. Перед вычислением подпишите: первая точка — начало, вторая — конец.

Пропуск координаты или вычитание разных осей. В пространстве нужно выполнить три вычисления, сохраняя порядок x, y, z. При невнимательности можно, например, вычесть y-координату начала из x-координаты конца. Сверьте каждую пару по одной оси и проверьте, что в ответе есть три числа.

Координаты вектора принимают за координаты его конца. Это верно только для радиус-вектора, который начинается в O, но не для вектора с произвольным началом. Ошибка возникает, когда забывают учесть положение начальной точки. Подставьте координаты начала в формулу B − A: если начало не O, одних координат конца недостаточно.

Связь с другими темами

Для работы с координатами векторов нужно знать прямоугольную систему координат в пространстве, уметь читать координаты точек и понимать, что такое координатные векторы. Эти знания объясняют, откуда берутся три составляющие вектора и почему их сравнивают по соответствующим осям. Если уверенно ориентироваться в записи троек чисел, формула B − A становится прямым переводом перемещения между точками в координаты.

Полученные координаты помогают находить длину вектора и расстояние между точками, а также проверять равенство или коллинеарность векторов. Например, расстояние между точками находят через длину вектора, соединяющего их. Сравнение координат позволяет решать такие задачи вычислениями, не строя точный пространственный чертёж.

Что запомнить

• Координаты радиус-вектора точки совпадают с координатами этой точки.
• Если A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).
• Координаты вектора направлены от начала вектора к его концу.
• Координаты BA противоположны координатам AB.
• Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.
• Чтобы найти координаты конца по координатам начала и вектора, к координатам начала прибавляют координаты вектора.