48. Связь между координатами векторов и координатами точек

Определения и обозначения

Координаты точки — числа, задающие её положение в выбранной прямоугольной системе координат. В пространстве точку A записывают как A(x; y; z): первое число указывает положение по оси x, второе — по оси y, третье — по оси z. Такая запись позволяет однозначно указать точку и выполнять вычисления, не полагаясь только на чертёж.

Координаты вектора — числа, определяющие его составляющие вдоль координатных осей. Вектор обозначают, например, a = (a₁; a₂; a₃), где каждая координата показывает, насколько вектор направлен вдоль соответствующей оси. Эта запись нужна, чтобы находить векторы и сравнивать их без изображения на рисунке.

Координатные векторы — единичные векторы, направленные вдоль осей координат. Обычно их обозначают i, j, k; длина каждого равна единице, а направление совпадает с направлением соответствующей оси. С их помощью вектор a = (a; b; c) можно записать как ai + bj + ck, то есть разложить на составляющие по трём направлениям.

Как это устроено

В пространстве три координатные оси позволяют указать положение точки по трём независимым направлениям. Поэтому для точки A нужны три числа A(x; y; z): изменение хотя бы одного из них обычно перемещает точку. Вектор OA из начала координат O к точке A называют радиус-вектором точки. Его координаты совпадают с координатами A, потому что переход начинается из точки (0; 0; 0).

Пусть A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂). При переходе из A в B первая координата меняется на x₂ − x₁, вторая — на y₂ − y₁, третья — на z₂ − z₁. Поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Вычитание выполняют в одинаковом порядке по всем осям: конечная точка минус начальная.

Связь можно вывести и через радиус-векторы: AB = OB − OA. Вектор OB ведёт из начала координат к B, а OA — к A; если из первого перемещения убрать путь до A, останется перемещение от A до B. В координатах это означает вычитать соответствующие компоненты OA из компонентов OB. Так становится понятным, почему нельзя менять порядок вычитания: тогда получится вектор BA, направленный противоположно.

Если начало вектора совпадает с O, то его радиус-вектор уже начинается там же, откуда отсчитываются координаты точки. Например, для A(x; y; z) вектор OA имеет координаты (x; y; z). Это частный случай общего правила: координаты OA равны координатам A минус координаты O, то есть (x − 0; y − 0; z − 0).

Координаты помогают находить длину и проверять равенство векторов. Для вектора (a; b; c) длина равна √(a² + b² + c²), поскольку составляющие направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей. Два вектора равны, если у них одинаковы соответствующие координаты; место, где они изображены, значения не имеет. Поэтому достаточно сравнить три компоненты, а не положение стрелок на чертеже.

Связь координат точек и векторов

В таблице приведены основные случаи и способ перейти от заданных данных к нужному объекту. В строке про точки для нахождения вектора сначала отметьте начало и конец, затем примените правило «конец минус начало». При сравнении векторов проверьте все три координаты по порядку.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Найдите координаты вектора AB. Нужно определить изменение каждой координаты при переходе от A к B, сохраняя порядок компонент.

1. Начальная точка — A, конечная — B, поэтому используем координаты B минус координаты A.
2. По оси x получаем 4 − 1 = 3; по оси y — 0 − (−2) = 2; по оси z — −1 − 3 = −4.
3. Записываем компоненты в том же порядке: AB = (3; 2; −4).

Ответ: AB = (3; 2; −4).

Задача 2. Даны A(−2; 3; 1) и AB = (5; −1; 2). Найдите координаты B. Вектор описывает изменение координат от A к B, значит, это изменение надо прибавить к координатам начала.

1. Координату x точки A складываем с первой координатой вектора: −2 + 5 = 3.
2. Для y получаем 3 + (−1) = 2, а для z — 1 + 2 = 3.
3. Объединяем результаты в запись координат точки B: B(3; 2; 3).

Ответ: B(3; 2; 3).

Задача 3. Даны A(1; 2; −1), B(4; 0; 3), C(−2; 1; 2), D(1; −1; 6). Определите, равен ли AB вектору CD. Для ответа найдём компоненты обоих векторов и сравним их попарно.

1. Для AB вычитаем координаты A из координат B: AB = (4 − 1; 0 − 2; 3 − (−1)) = (3; −2; 4).
2. Для CD вычитаем координаты C из координат D: CD = (1 − (−2); −1 − 1; 6 − 2) = (3; −2; 4).
3. Все три компоненты совпали, поэтому по координатному признаку векторы равны.

Ответ: AB = CD.

Типичные ошибки

Первая ошибка — вычитать координаты конца из координат начала. Так находят координаты BA вместо AB, то есть получают вектор противоположного направления; ошибка возникает, когда забывают, откуда и куда ведёт стрелка. Проверяйте запись формулы: для AB сначала стоят координаты B, затем A. Если поменять точки местами, все компоненты изменят знак.

Иногда считают, что координаты зависят от места, где нарисован вектор. Это смешивает положение стрелки с её направлением и величиной: равные векторы могут начинаться в разных точках. Чтобы проверить себя, сравните соответствующие компоненты, а не расположение векторов на чертеже. Совпадение трёх координат означает равенство векторов.

При восстановлении конца вектора встречается вычитание его координат из координат начала. Но координаты вектора показывают приращение от начала к концу, поэтому их нужно прибавлять. Проверка простая: подставьте найденные координаты B в формулу AB = B − A — должен получиться исходный вектор.

Ещё одна ошибка — пропустить координату или переставить компоненты. Её допускают, когда считают выражения не по порядку или не записывают промежуточные результаты. Сопоставляйте x с x, y с y, z с z и выполняйте три отдельных вычитания. В конце проверьте, что в записи вектора осталось ровно три компоненты в порядке x, y, z.

Связь с другими темами

Для работы нужны знания о прямоугольной системе координат в пространстве, координатах точек и понятии вектора. Полученные координаты позволяют вычислять длину вектора и проверять равенство векторов, сравнивая их компоненты. Тот же координатный подход пригодится при изучении скалярного произведения, а также уравнений прямых и плоскостей: геометрические условия там переводят в вычисления с координатами.

Что запомнить

• Координаты вектора AB находят как координаты B минус координаты A.
• Для A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂): AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).
• Если начало вектора — начало координат, координаты вектора совпадают с координатами его конца.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• Длина вектора (a; b; c) равна √(a² + b² + c²).
• Чтобы найти конец вектора, прибавляют его координаты к координатам начала.