"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Координаты помогают описывать положение точек в пространстве числами и решать геометрические задачи вычислениями. Если известны координаты концов отрезка, его длину находят по теореме Пифагора, а координаты середины — как полусуммы соответствующих координат. Эти правила работают и при отрицательных координатах, и когда некоторые из них равны нулю. Главное — учитывать все три оси и не путать координаты точки с длиной отрезка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом O. Их обычно обозначают Ox, Oy и Oz; оси задают три направления, в которых можно отсчитывать положение точки. Такая система позволяет переводить пространственную задачу на язык чисел.
Координаты точки — три числа, записываемые в виде (x, y, z), которые задают её положение относительно начала координат и координатных плоскостей. Первое число относится к оси Ox, второе — к Oy, третье — к Oz. По координатам можно восстановить точку и сравнить её положение с другими точками.
Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего их. В координатной задаче эта длина определяется координатами концов: учитываются изменения по каждой из трёх осей. Понятие нужно, чтобы вычислять длины рёбер, диагоналей и других отрезков в пространственных фигурах.
Середина отрезка — точка, которая делит отрезок на две равные части. Её координаты выражаются через координаты концов: по каждой оси берётся среднее арифметическое двух координат. Это помогает находить центр отрезка, даже если он расположен не в координатной плоскости.
Для точки на плоскости нужны два числа, потому что на ней есть два независимых направления. В пространстве к ним добавляется направление, перпендикулярное этой плоскости, — поэтому нужны три координаты. Каждая задаёт смещение по своей оси, а вместе они определяют положение точки однозначно. Если изменить только одну координату, точка переместится параллельно соответствующей оси.
Формулу расстояния можно понять как применение теоремы Пифагора к последовательным прямоугольным треугольникам. Пусть сначала мы учитываем смещения по Ox и Oy: их длины образуют катеты прямоугольного треугольника, а гипотенуза показывает расстояние между проекциями точек на плоскость Oxy. Затем к этой длине добавляется смещение по Oz, перпендикулярное плоскости. Теорема Пифагора применяется второй раз, теперь гипотенуза — весь отрезок между точками.
Поэтому для A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) получаем AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Каждая разность показывает, насколько координаты концов различаются по одной оси. Квадраты этих изменений складываются, потому что оси взаимно перпендикулярны и соответствующие перемещения играют роль катетов. Если координата по какой-либо оси у концов совпадает, её разность равна нулю и в вычисление длины она не вносит вклад.
Координаты середины — полусуммы координат концов, поскольку при проецировании отрезка на каждую ось получается отрезок с концами в соответствующих координатах. Середина исходного отрезка делит каждую такую проекцию пополам: её координата находится ровно посередине между координатами концов. Поэтому для M середины AB имеем M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2). Правило одинаково работает для всех осей, в том числе если координаты отрицательны или равны нулю.
Чтобы решать задачи о фигурах координатным способом, сначала выбирают систему координат, удобную для расположения фигуры, и задают координаты важных точек. Затем нужно определить, что именно требуется: длину отрезка или координаты его середины. Подстановка в подходящую формулу заменяет пространственное рассуждение вычислением; в конце полезно проверить, согласуется ли результат с расположением точек и не может ли длина оказаться отрицательной.
| Что требуется найти | Исходные данные | Формула |
|---|---|---|
| Расстояние между точками A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) | Координаты точек A и B | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Координаты середины отрезка AB | A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) | M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Координаты середины отрезка при нулевой одной или нескольких координатах концов | Координаты концов подставляются в общую формулу середины | Координата середины по соответствующей оси — полусумма координат концов; например, (0 + z₂)/2 = z₂/2 |
Сначала выберите строку по тому, что требуется найти, а затем подставьте координаты концов в указанном порядке. Разности в формуле расстояния можно записывать как x₁ − x₂ вместо x₂ − x₁: после возведения в квадрат результат будет тем же. Если координаты нулевые, подставляйте их как обычные числа, не исключая целую ось.
Задача 1. Найти расстояние между точками A(1, −2, 3) и B(4, 2, 3). Третья координата у точек совпадает, значит, вдоль оси Oz перемещения нет. Используем общую формулу и проверим, что в ответе получилось неотрицательное число.
Ответ: AB = 5.
Задача 2. Найти координаты середины отрезка с концами A(−2, 1, 4) и B(6, 3, −2). Середина находится отдельно посередине между координатами концов по каждой оси. Поэтому нельзя усреднить координаты только по двум осям или забыть разделить сумму на 2.
Ответ: M(2, 2, 1).
Задача 3. Точка M — середина отрезка AB, A(1, −1, 2), M(3, 2, 0). Найти координаты B и длину AB. Здесь неизвестны координаты одного конца, но известна середина, значит, сначала используем формулу середины как уравнение для каждой координаты B. Только после этого можно найти расстояние между концами.
Ответ: B(5, 5, −2), AB = 2√17.
Пропуск одной координаты. Иногда в формулу переносят планиметрический вариант с двумя слагаемыми и забывают, что в пространстве есть третья ось. Это происходит, если не соотнести каждое слагаемое с отдельным направлением. Проверьте, что записаны разности по x, y и z; при совпадении координат одно слагаемое будет нулевым, но его всё равно можно указать.
Непоследовательный порядок вычитания. Разности можно записывать в любом порядке, но нельзя терять скобки и забывать возвести каждую разность в квадрат. Ошибка часто возникает при отрицательных координатах. Для проверки подставьте координаты со знаками в скобки и убедитесь, что все слагаемые после возведения в квадрат неотрицательны.
Сумма координат без деления на 2. Складывая координаты концов, получают удвоенную координату середины, а не саму координату. Это легко пропустить, потому что складывание по каждой оси выглядит как отдельное простое действие. Поделите каждую из трёх сумм на 2 и проверьте, что полученное значение находится между координатами концов на соответствующей оси.
Путаница между координатами и длиной. Координаты точки могут быть отрицательными, так как они показывают положение относительно начала координат. Длина отрезка, напротив, не бывает отрицательной, хотя отдельные разности координат могут иметь любой знак. Проверьте, что под корнем стоят квадраты, а итоговое расстояние не меньше нуля.
Для работы с пространственными координатами понадобятся знания о прямоугольной системе координат на плоскости, координатных осях и теореме Пифагора. Знакомое правило нахождения длины в двух измерениях расширяется на третье направление, а идея среднего координат переносится на пространственный отрезок. Эти формулы используют в задачах на длины и середины отрезков, в том числе при вычислении рёбер и диагоналей многогранников. Удобно представить фигуру в координатах, чтобы свести её свойства к вычислениям.
Почему для точки в пространстве нужны три координаты?
В пространстве точка может смещаться в трёх взаимно перпендикулярных направлениях. Каждая координата показывает смещение вдоль одной оси, поэтому трёх чисел достаточно, чтобы однозначно задать положение точки.
Как вывести формулу расстояния между двумя точками в пространстве?
Разности соответствующих координат задают длины перемещений вдоль трёх осей. Сначала по теореме Пифагора находят диагональ прямоугольника в одной плоскости, затем применяют теорему ещё раз к полученному прямоугольному треугольнику. Так получается корень из суммы квадратов всех трёх разностей.
Почему в формуле расстояния разности координат возводят в квадрат?
Квадраты появляются при применении теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Благодаря квадрату результат не зависит от того, какая координата больше, и отрицательные разности не делают расстояние отрицательным.
Как найти координаты середины отрезка?
Для каждой оси отдельно сложите координаты концов отрезка и разделите сумму на 2. Например, если концы имеют координаты (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂), середина имеет координаты ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2).
Можно ли использовать эти формулы, если некоторые координаты отрицательные?
Да, формулы действуют при любых действительных координатах. В формуле середины отрицательные числа складывают со знаками, а в формуле расстояния разности возводят в квадрат.
49. Простейшие задачи в координатах
