"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Координаты помогают описывать положение точки числами и решать геометрические задачи вычислениями. На координатной прямой положение задаёт одно число, а на плоскости — пара чисел: координаты по горизонтали и вертикали. Зная координаты концов отрезка, можно находить его длину и координаты середины. Главное — следить за порядком координат и правильно выбирать формулу для конкретной задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Каждой её точке соответствует число — координата. Это нужно, чтобы точно указывать положение точки и находить расстояние между точками по разности их координат.
Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными координатными прямыми: горизонтальной осью x и вертикальной осью y. Их точка пересечения — начало координат O. Положение точки задают двумя числами (x; y), поэтому координаты помогают описывать фигуры и их расположение на плоскости.
Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Для точек на одной горизонтали или вертикали его находят как модуль разности соответствующих координат. Если точки отличаются по обеим координатам, используют теорему Пифагора: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его на две равные части. Если концы имеют координаты A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то середина M имеет координаты ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Формула нужна, когда положение середины требуется определить без измерения чертежа.
На координатной прямой числа увеличиваются в выбранном положительном направлении, а уменьшаются в противоположном. Поэтому координата сообщает не только положение точки, но и то, с какой стороны от начала отсчёта она находится. Чтобы найти расстояние между двумя точками, нельзя просто вычитать числа и оставлять результат: порядок вычитания может дать отрицательное число, а длина всегда неотрицательна. Модуль разности устраняет эту зависимость от порядка.
На плоскости координаты записывают именно в порядке (x; y). Сначала определяют, насколько точка смещена по горизонтали, затем — по вертикали. Например, точка (−2; 3) находится на две единицы левее начала координат и на три единицы выше него. Если поменять числа местами, получится другая точка, потому что изменятся оба направления смещения.
Когда две точки лежат на одной горизонтали, их координаты y совпадают: высота не меняется, а отрезок направлен вдоль оси x. Его длина равна модулю разности координат x. На одной вертикали, наоборот, совпадают координаты x, поэтому вычитают координаты y. Такой способ удобен тем, что для вычисления не нужно строить прямоугольный треугольник.
Если обе координаты концов различаются, отрезок можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника. Его катеты равны изменениям по горизонтали и вертикали: |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, откуда и получается формула расстояния. Квадраты делают знак разности несущественным, а корень возвращает длину к обычным единицам измерения.
Координаты середины находят усреднением отдельно по каждой оси. По горизонтали середина должна находиться ровно посередине между x₁ и x₂, значит, её координата равна их полусумме. То же рассуждение работает для вертикальной координаты. Поэтому нельзя складывать x одной точки с y другой: каждое направление рассматривают отдельно.
| Что требуется найти | Условие | Формула |
|---|---|---|
| Расстояние на прямой | Точки имеют координаты a и b | |b − a| |
| Горизонтальное расстояние | y₁ = y₂ | |x₂ − x₁| |
| Вертикальное расстояние | x₁ = x₂ | |y₂ − y₁| |
| Расстояние на плоскости | Координаты могут различаться по обеим осям | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) |
| Середина отрезка | A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2) |
Сначала сравни координаты концов: если одна пара совпадает, достаточно найти разность по другой оси. Если изменяются обе координаты, применяй формулу с теоремой Пифагора. Для середины вычисляй две полусуммы отдельно и записывай результат в порядке (x; y).
Задача. Даны точки A(−1; 2) и B(3; 5). Найди длину отрезка AB и координаты его середины. Точки различаются и по горизонтальной, и по вертикальной координате, поэтому расстояние нельзя получить одной разностью. Середину, напротив, найдём усреднением координат отдельно по каждой оси.
Определяем изменения координат. По оси x получаем 3 − (−1) = 4, а по оси y — 5 − 2 = 3. Это длины катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого совпадает с отрезком AB.
Применяем теорему Пифагора. AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5. Полученная длина положительна, как и должно быть для расстояния.
Находим координату середины по оси x. Складываем координаты точек и делим сумму на два: (−1 + 3)/2 = 1. Значит, середина находится на единицу правее начала координат по горизонтали.
Вычисляем координату середины по оси y: (2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5. Записываем обе координаты в правильном порядке: сначала x, потом y.
Ответ: AB = 5, M(1; 3,5). Проверка середины показывает, что её координаты находятся между координатами концов: 1 между −1 и 3, а 3,5 между 2 и 5. Значит, результат согласуется с расположением точек.
Путают порядок координат. Иногда записывают сначала y, а затем x, потому что так удобнее читать условие. Ошибка меняет положение точки на плоскости. Проверяй запись по правилу: первая координата относится к горизонтальной оси, вторая — к вертикальной.
Забывают модуль при вычислении расстояния на прямой. Если из меньшей координаты вычесть большую, получится отрицательное число, хотя длина не бывает отрицательной. Такая ошибка возникает, когда воспринимают расстояние как обычную разность. Проверь, что ответ не меньше нуля, или запиши модуль разности.
Применяют формулу для прямой, когда меняются обе координаты. Разность только по x или только по y тогда показывает катет, а не весь отрезок. Ошибка появляется, если не сравнить координаты заранее. Проверь: при разных x и разных y используй теорему Пифагора.
Смешивают координаты при поиске середины. Например, складывают x первой точки с y второй. Причина — желание вычислить координаты одной общей суммой. Проверяй отдельно: для координаты x складываются только значения x, для координаты y — только значения y.
Расстояние на прямой опирается на понятие длины отрезка и сравнение чисел. Формула расстояния на плоскости получается из теоремы Пифагора: горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника. Координаты середины связаны с делением отрезка пополам и нахождением среднего арифметического двух чисел. Эти способы пригодятся при изучении графиков, свойств фигур и более сложных задач координатным методом.
На прямой точке соответствует одно число, на плоскости — пара (x; y).
Расстояние на одной линии равно модулю разности соответствующих координат.
Если различаются обе координаты, используй формулу AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Координаты середины — полусуммы координат концов, вычисленные отдельно для x и y.
Перед вычислениями определи, какая формула подходит, и проверь порядок координат.
§ 2. Простейшие задачи в координатах
