88. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Определения и обозначения

Точку на координатной плоскости записывают в виде A(x; y). Первое число x называют абсциссой точки, а второе число y — её ординатой. Например, у точки A(2; −1) абсцисса равна 2, а ордината — −1. Такая запись нужна, чтобы точно задавать положение точки и отдельно учитывать её положение по каждой оси.

Координатами вектора называют два числа, которые показывают его перемещение по осям координат. Первое число — координата вектора по оси x, а второе — по оси y. Например, запись (3; −2) означает перемещение на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Эти числа позволяют описать направление и длину перемещения, не привязываясь к конкретному месту на плоскости.

Пусть начало вектора находится в точке A(x₁; y₁), а конец — в точке B(x₂; y₂). Тогда вектор, направленный из A в B, обозначают AB; буквы над ним обычно показывают, откуда и куда направлено перемещение. Координаты начала и конца задают положение обеих точек, а координаты вектора показывают разницу между их положениями. Это различие помогает не путать координаты точки с координатами вектора.

Как это устроено

Представьте, что на координатной плоскости отмечены A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), а стрелка направлена из A в B. При движении от A к B абсцисса меняется с x₁ на x₂, поэтому изменение по горизонтали равно x₂ − x₁. Ордината меняется с y₁ на y₂, значит, изменение по вертикали равно y₂ − y₁. На чертеже это видно как горизонтальный и вертикальный шаги, из которых складывается перемещение AB.

Каждая координата вектора описывает перемещение только по своей оси. Поэтому первая координата AB равна x₂ − x₁, а вторая — y₂ − y₁; вместе они дают формулу AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Она работает, потому что движение от A к B можно разложить на два изменения: сначала по горизонтали, затем по вертикали. Порядок этих шагов не меняет общего перемещения.

Из координат конца вычитают координаты начала, так как именно так находят изменение величины: новое значение минус исходное. Если поменять порядок, получится (x₁ − x₂; y₁ − y₂) — координаты вектора BA, направленного обратно. Например, переход вправо на 4 единицы даёт координату 4, а обратный переход влево — −4. Поэтому важно сначала определить, куда направлена стрелка, и лишь затем выполнять вычитание.

Координаты вектора не зависят от того, где именно его нарисовали: важны только величина и направление перемещения. Если перенести стрелку параллельно самой себе, её начало и конец изменят координаты, но разности координат останутся прежними. Поэтому равные векторы, даже изображённые в разных местах, имеют одинаковые координаты. Это позволяет сравнивать векторы по двум числам, не сравнивая их положение на рисунке.

Если вектор параллелен оси x, при движении его ордината не меняется: y₂ = y₁, поэтому y₂ − y₁ = 0. Значит, вторая координата такого вектора равна нулю. Если вектор параллелен оси y, не меняется абсцисса, так что x₂ − x₁ = 0 и первая координата равна нулю. Эти частные случаи удобно использовать для быстрой проверки ответа.

Как найти координаты вектора по координатам его начала и конца

Сначала выберите строку для нужной оси и запишите координаты начала и конца именно по ней. Затем вычтите координату начала из координаты конца, не смешивая абсциссы с ординатами. Полученные результаты поставьте в запись вектора в том же порядке: сначала координата по x, затем по y.

Разбор задач

Задача 1

Найдите координаты вектора AB, если A(1; 2), B(4; 6). Нужно определить, на сколько единиц изменились абсцисса и ордината при переходе из A в B. Для этого применяем формулу координат вектора и отдельно считаем разность по каждой оси.

1. Первая координата: из абсциссы конца вычитаем абсциссу начала: 4 − 1 = 3.
2. Вторая координата: из ординаты конца вычитаем ординату начала: 6 − 2 = 4.
3. Записываем результаты по порядку: AB = (3; 4).

Ответ: AB = (3; 4). Обе координаты положительные, потому что при движении от A к B мы перемещаемся вправо и вверх. Такая проверка по направлению помогает заметить ошибку в знаке.

Задача 2

Найдите координаты конца B вектора AB = (−2; 5), если A(3; −1). Здесь неизвестны координаты конечной точки, но известно, насколько изменились координаты при движении от A к B. Первая координата вектора задаёт изменение абсциссы, вторая — изменение ординаты.

1. Обозначим конец как B(x₂; y₂) и запишем связь: x₂ − 3 = −2, y₂ − (−1) = 5.
2. Из первого равенства получаем x₂ = 3 − 2 = 1. Конечная абсцисса на 2 меньше начальной, потому что первая координата вектора отрицательна.
3. Из второго равенства получаем y₂ + 1 = 5, поэтому y₂ = 4.
4. Объединяем найденные координаты: B(1; 4).

Ответ: B(1; 4). Проверим: 1 − 3 = −2 и 4 − (−1) = 5, значит, полученный конец действительно задаёт вектор AB = (−2; 5).

Задача 3

Даны A(−3; 2), B(4; −1), C(0; 5). Найдите координаты AB и BC и определите, равны ли эти векторы. Для сравнения недостаточно посмотреть на точки: сначала нужно найти изменения по обеим осям для каждого направления. Векторы равны только тогда, когда совпадают обе их координаты.

1. Для AB вычитаем координаты A из координат B: AB = (4 − (−3); −1 − 2) = (7; −3).
2. Для BC вычитаем координаты B из координат C: BC = (0 − 4; 5 − (−1)) = (−4; 6).
3. Сравниваем первые координаты: 7 и −4 не равны. Значит, пары координат не совпадают, и векторы не равны.

Ответ: AB = (7; −3), BC = (−4; 6); векторы AB и BC не равны. При вычитании отрицательных чисел особенно полезно сначала поставить скобки, как в записи 4 − (−3). Она превращается в сложение: 4 + 3 = 7.

Типичные ошибки

Иногда вычитают координаты конца из координат начала, хотя вектор направлен от начала к концу. Так получают координаты противоположного вектора, потому что направление меняется на обратное. Ошибку допускают, если забывают, куда направлена стрелка; проверка — мысленно пройти от A к B и сопоставить знак с движением. При движении вправо координата по x должна быть положительной, а при движении влево — отрицательной.

Другая ошибка — вычитать координаты крест-накрест: например, абсциссу конца сравнивать с ординатой начала. Тогда числа относятся к разным осям и не показывают реального перемещения ни по горизонтали, ни по вертикали. Чтобы этого избежать, запишите пары отдельно: x₂ − x₁ и y₂ − y₁. Проверить себя можно по порядку координат: первая всегда связана с x, вторая — с y.

Координаты вектора иногда принимают за координаты его конца. Это совпадает только в особом случае, когда начало вектора — точка O(0; 0): тогда вычитание нулей не меняет координаты конца. В остальных случаях нужно учитывать положение начала и находить разности. Проверка простая: подставьте начало и конец в формулу, а не переписывайте координаты точки B.

При отрицательных координатах точки формула остаётся прежней, но можно ошибиться со знаками при вычитании. Например, 4 − (−3) равно 7, а не 1, потому что вычитание отрицательного числа заменяется сложением. Ошибку легче заметить, если заключать отрицательные координаты в скобки и проверять результат обратным действием. Знаки координат точек не меняют правило: из координаты конца по-прежнему вычитают координату начала.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь работать с координатной плоскостью и записывать координаты точки: сначала абсциссу, затем ординату. Также важно понимать обозначение AB: оно показывает вектор, направленный из точки A в точку B, поэтому порядок букв влияет на направление. Эти знания позволяют читать условие и правильно выбирать, какие координаты вычитать.

Формула помогает сравнивать векторы: достаточно проверить, совпадают ли их первая и вторая координаты. Она пригодится и в задачах на координатной плоскости, где нужно находить перемещения между точками. Позже тот же способ записи будет полезен при изучении действий с векторами.

Что запомнить

• Если A(x₁; y₁), а B(x₂; y₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
• Координаты вектора находят вычитанием координат начала из координат конца.
• Первая координата вектора определяется изменением абсциссы, вторая — изменением ординаты.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• Если вектор параллелен оси x, его вторая координата равна нулю.
• Если вектор параллелен оси y, его первая координата равна нулю.