89. Простейшие задачи в координатах

Определения и обозначения

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Если точки имеют координаты A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), расстояние можно найти по их координатам. Оно не бывает отрицательным: длина отрезка равна нулю или больше нуля.

Формула расстояния между точками записывается так: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Здесь x₂ − x₁ — разность абсцисс, а y₂ − y₁ — разность ординат. Формула следует из теоремы Пифагора и помогает вычислять длину отрезка, даже если его положение на плоскости неудобно оценивать по чертежу.

Середина отрезка — точка этого отрезка, которая делит его на два равных отрезка. Если M — середина AB, то AM = MB. Это понятие позволяет точно указать положение точки между концами отрезка.

Координаты середины отрезка находят отдельно для каждой координаты. Абсцисса середины равна полусумме абсцисс концов, а ордината — полусумме ординат: xM = (x₁ + x₂)/2, yM = (y₁ + y₂)/2. Правило удобно тем, что координаты можно вычислить независимо друг от друга.

Как это устроено

Представим точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) на координатной плоскости. Если провести через них вспомогательные горизонтальную и вертикальную линии, получится прямоугольный треугольник. Его горизонтальный катет показывает, насколько различаются абсциссы: его длина равна |x₂ − x₁|. Вертикальный катет показывает разность ординат и имеет длину |y₂ − y₁|. Сам отрезок AB соединяет точки и становится гипотенузой.

Теперь применим теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит, AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)², а чтобы получить само расстояние, извлекаем квадратный корень. Если точки лежат на одной горизонтали, их ординаты равны, один катет равен нулю и расстояние равно |x₂ − x₁|. Если точки находятся на одной вертикали, равны абсциссы, поэтому расстояние равно |y₂ − y₁|.

Поменяем точки местами: разность абсцисс станет x₁ − x₂, а разность ординат — y₁ − y₂. Каждая из этих разностей отличается от прежней только знаком, а при возведении в квадрат знак исчезает: (x₁ − x₂)² = (x₂ − x₁)². Поэтому выражение под корнем остаётся прежним и расстояние не зависит от того, в каком порядке названы точки.

Для середины важно, что она делит отрезок пополам не только по длине, но и по каждому направлению координат. Если от концов отрезка опустить или провести линии параллельно осям, координатный промежуток между ними разделится в точке середины пополам. Поэтому абсцисса середины находится ровно посередине между абсциссами концов, а ордината — посередине между их ординатами. Отсюда получаются полусуммы соответствующих координат.

Эти формулы работают и в обратном направлении. Чтобы проверить, является ли заданная точка серединой отрезка, вычислите полусуммы координат концов и сравните результат с координатами этой точки. Чтобы проверить, равноудалена ли точка от двух других, найдите оба расстояния по формуле и сравните их. Для последней проверки иногда достаточно сравнить выражения под корнями, если оба расстояния неотрицательны.

Простейшие задачи по координатам точек

Сначала определите, что именно требуется найти, а затем выберите подходящую строку таблицы. Проверьте, какие координаты даны и какие действия с ними нужно выполнить. Для расстояния не забудьте корень, а для середины — разделить сумму каждой пары координат на два.

Разбор задач

Задача 1. Найти расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6). Нужно определить, насколько отличаются координаты точек по каждому направлению, а затем применить теорему Пифагора в виде формулы расстояния.

1. Разность абсцисс равна 4 − 1 = 3, а разность ординат равна 6 − 2 = 4. Это длины катетов прямоугольного треугольника, построенного по точкам.
2. Подставим полученные разности в формулу: AB = √(3² + 4²). Квадраты равны 9 и 16, поэтому AB = √25 = 5.

Ответ: AB = 5.

Задача 2. Найти координаты середины отрезка с концами C(−2; 5) и D(6; 1). Абсциссы и ординаты нужно усреднять отдельно, чтобы координаты разных типов не смешались.

1. Для абсциссы середины складываем −2 и 6, затем делим сумму на 2: (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2.
2. Для ординаты складываем 5 и 1 и также делим на 2: (5 + 1)/2 = 6/2 = 3. Значит, обе координаты середины найдены.

Ответ: середина отрезка CD имеет координаты (2; 3).

Задача 3. Точка M(3; 2) — середина отрезка AB, где A(−1; 4). Найти координаты точки B. Обозначим их B(x; y) и воспользуемся формулами середины, составив отдельное равенство для каждой координаты.

1. Для абсциссы получаем 3 = (−1 + x)/2. Умножим обе части на 2: 6 = −1 + x, поэтому x = 7.
2. Для ординаты имеем 2 = (4 + y)/2. После умножения на 2 получаем 4 = 4 + y, значит, y = 0.
3. Запишем найденные значения в порядке координатной пары. Проверка: полусумма абсцисс −1 и 7 равна 3, а полусумма ординат 4 и 0 равна 2.

Ответ: B(7; 0).

Типичные ошибки

Иногда разности координат складывают, не возводя их в квадрат. Так делают, если механически соединяют два изменения, но расстояние — гипотенуза, для которой действует теорема Пифагора. Проверьте вычисления по формуле: сначала каждую разность возведите в квадрат, затем сложите квадраты. Например, для катетов 3 и 4 расстояние равно √(9 + 16), а не 3 + 4.

Другая ошибка — вычитать абсциссу одной точки из ординаты другой или путать порядок координат. Такое случается, когда числа подставляют без привязки к их месту в паре. Сначала подпишите координаты как x₁, y₁, x₂, y₂, затем сравните x с x и y с y. При нахождении середины тоже усредняйте отдельно абсциссы и отдельно ординаты.

При вычислении расстояния можно правильно получить сумму квадратов, но забыть извлечь корень. Тогда найдено не расстояние, а его квадрат. Проверьте, что в ответе стоит корень из суммы квадратов и что его значение неотрицательно. Если сумма равна 25, например, расстояние равно 5, а не 25.

При поиске середины иногда усредняют координаты только по одной оси или делят на два координату одного конца. Причина — желание выполнить короткое вычисление, не записав формулу целиком. Для контроля напишите обе формулы: xM = (x₁ + x₂)/2 и yM = (y₁ + y₂)/2. В каждой должны быть координаты обоих концов одного типа.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться формулами, нужно понимать, как точка задаётся на координатной плоскости, различать абсциссу и ординату и уверенно выполнять действия с отрицательными числами. Формула расстояния связана с теоремой Пифагора: разности координат становятся катетами прямоугольного треугольника. Позже координатный метод позволит задавать уравнениями фигуры, например окружность, и решать геометрические задачи с помощью вычислений.

Что запомнить

• Расстояние между точками — неотрицательная величина.
• Квадрат расстояния равен сумме квадратов разностей соответствующих координат.
• Перестановка точек не меняет расстояние между ними.
• Абсцисса середины — полусумма абсцисс концов отрезка.
• Ордината середины — полусумма ординат концов отрезка.
• При поиске неизвестного конца отрезка формулы середины можно преобразовать относительно неизвестных координат.