"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Координаты позволяют находить расстояние между точками, середину отрезка и координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. Для этого сравнивают соответствующие координаты концов и применяют формулы, основанные на теореме Пифагора и свойствах отрезка. Эти приёмы превращают пространственную задачу в несколько вычислений по осям и помогают решать задачи на длины, векторы и взаимное расположение объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние между двумя точками в пространстве — длина отрезка, который соединяет эти точки. Если A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), то расстояние выражается формулой AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Она нужна, чтобы находить длины без построения точек и измерения отрезка.
Середина отрезка — точка, которая делит его на два равных отрезка. Если концы имеют координаты A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), то середина M имеет координаты ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2). Это правило позволяет определить положение середины отдельно по каждой оси.
Точка, делящая отрезок в заданном отношении, — точка M на AB, для которой длины частей относятся как AM:MB = m:n. Её координаты находят по координатам A и B, учитывая оба числа отношения: координата M равна (n·координата A + m·координата B)/(m+n). Формула пригодится, когда точка расположена не обязательно посередине отрезка.
Чтобы вывести формулу расстояния, представим отрезок AB диагональю прямоугольного параллелепипеда. Длины трёх его рёбер равны модулям разностей соответствующих координат точек: |x₂ − x₁|, |y₂ − y₁| и |z₂ − z₁|. Сначала по теореме Пифагора найдём диагональ основания, затем применим её ещё раз к прямоугольному треугольнику с этой диагональю и третьим ребром. Получаем AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)², откуда и следует формула расстояния.
На плоскости у точки только две координаты, поэтому для расстояния достаточно разностей по двум осям. В пространственной формуле третье слагаемое учитывает изменение высоты. Если z₁ = z₂, высота точек одинакова и третья разность обращается в ноль. Тогда формула сводится к плоской: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Середину можно рассматривать отдельно на каждой координатной оси. Проекция отрезка на ось соединяет числа, соответствующие координатам концов, а проекция середины находится посередине между ними. Поэтому её координата — среднее арифметическое координат концов: например, xₘ = (x₁ + x₂)/2. Такое же рассуждение верно для y и z, что и даёт формулу середины в пространстве.
Для точки деления в отношении AM:MB = m:n рассмотрим проекции отрезка на координатную ось. Пусть на этой оси координаты концов равны a и b, а координата M — t. Направленные изменения от A до M и от M до B относятся как m:n, поэтому t = (n·a + m·b)/(m+n). Тот же вывод работает для каждой оси, так как доля отрезка одинакова в любом направлении. Координаты A умножаются на n, а B — на m: так точка оказывается ближе к концу, до которого отрезок короче.
Выбирайте формулу по тому, что требуется найти: длину, середину или точку деления. Перед подстановкой выпишите координаты концов в одном и том же порядке, а для отношения запишите AM:MB и сопоставьте m именно с AM. После вычисления оцените ответ: длина неотрицательна, координаты середины лежат между координатами концов, а точка деления должна быть ближе к нужному концу. Подстановка результата в соответствующую формулу помогает обнаружить арифметическую ошибку.
Таблица помогает быстро выбрать формулу: сначала определите искомую величину, затем найдите строку с подходящими данными. Для расстояния нужны координаты обеих точек, для середины — концы отрезка, а для точки деления дополнительно требуется отношение частей. В последней строке учитывайте порядок частей AM и MB.
| Что требуется найти | Данные | Основная формула |
|---|---|---|
| Расстояние между точками | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Середину отрезка | Концы A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂) | ((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2) |
| Точку, делящую отрезок в заданном отношении | A(x₁; y₁; z₁), B(x₂; y₂; z₂), AM:MB = m:n | ((n x₁ + m x₂)/(m+n); (n y₁ + m y₂)/(m+n); (n z₁ + m z₂)/(m+n)) |
Найдём расстояние между A(1; 2; 3) и B(4; 6; 3). Сначала сравним координаты в одинаковом порядке: разности равны 3, 4 и 0. Нулевая третья разность показывает, что точки лежат на одной высоте, поэтому задача фактически сводится к расстоянию на плоскости.
Ответ: AB = 5. Слагаемое с третьей координатой не влияет на длину, потому что эта координата у точек одинаковая.
Теперь найдём середину отрезка с концами A(−2; 1; 4) и B(6; 5; 0). По каждой оси нужно взять среднее арифметическое соответствующих координат, не смешивая координаты разных осей. Такой способ сохраняет положение точки в пространстве и не требует сначала строить отрезок.
Ответ: M(2; 3; 2). Проверка: каждое число находится между соответствующими координатами концов и является их полусуммой.
Пусть M делит AB в отношении AM:MB = 2:1, где A(1; −2; 3), B(7; 4; 0). Часть AM вдвое длиннее MB, значит, M должна быть ближе к B. Поэтому координаты A получают вес 1, а координаты B — вес 2: используется взвешенное среднее с обратными весами частей.
Ответ: M(5; 2; 1). Координаты получились ближе к координатам B, как и должно быть при AM:MB = 2:1.
В формуле расстояния иногда забывают возвести разности в квадрат или извлечь квадратный корень. Это происходит, когда формулу применяют механически и теряют связь с теоремой Пифагора. Проверяйте запись целиком: сначала сумма квадратов, затем корень; итоговая длина не может быть отрицательной.
Другая ошибка — записывать разности координат вразнобой, например в одном слагаемом x₂ − x₁, а в другом y₁ − y₂. Квадрат убирает знак, поэтому ответ не изменится, но такая запись повышает риск перепутать координаты или допустить ошибку в иных вычислениях. Вычитайте координаты последовательно: сначала из координат B координаты A, затем возводите каждую разность в квадрат.
При поиске середины можно сложить координаты и остановиться, забыв разделить сумму на два. Так получают удвоенное среднее, а не положение середины. После вычисления проверьте, что каждая координата лежит между соответствующими координатами концов и равна их полусумме.
При делении отрезка часто путают порядок чисел отношения и весов координат концов. Причина в том, что число m при AM:MB = m:n относится к части от A, но в формуле умножает координаты B. Запишите отношение словами и проверьте, к какому концу M должна быть ближе; если AM больше MB, точка должна быть ближе к B.
Для работы с формулами нужно уметь читать координаты точки в пространстве, находить разности соответствующих координат и применять теорему Пифагора. Координатный способ позволяет заменить пространственное построение вычислениями по осям. Полученные формулы используются в задачах на векторы и расстояния между геометрическими объектами. Они также служат основой для решения более сложных задач координатным методом.
Почему в формуле расстояния нужно складывать квадраты разностей координат?
Разности координат задают длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, диагональю которого является отрезок между точками. По теореме Пифагора квадрат диагонали равен сумме квадратов этих рёбер. Поэтому после сложения квадратов извлекают квадратный корень.
Что делать, если у точек совпадает одна из координат?
Разность совпадающих координат равна нулю, поэтому соответствующее слагаемое в формуле расстояния исчезает. Например, при одинаковых третьих координатах достаточно использовать разности первых двух координат.
Почему координаты середины находятся как полусуммы?
Середина делит отрезок пополам, поэтому её положение по каждой координатной оси находится ровно посередине между координатами концов. Число посередине между двумя числами — их среднее арифметическое, то есть полусумма.
Как не перепутать порядок частей в отношении при делении отрезка?
Сначала запишите отношение в заданном порядке: AM:MB = m:n. В координатах M координаты A получают вес n, а координаты B — вес m: точка ближе к A, если AM меньше MB. Проверьте направление: при AM:MB = 2:1 точка должна быть ближе к B.
Можно ли проверить найденные координаты середины или точки деления?
Для середины проверьте, что каждая координата равна полусумме координат концов и лежит между ними. Для точки деления подставьте координаты в формулу и проверьте заданное отношение; также оцените, должна ли точка быть ближе к A или к B.
1.4. Простейшие задачи в координатах
