49. Простейшие задачи в координатах

Определения и обозначения

Координаты точки в пространстве — три числа, задающие её положение относительно начала координат и трёх координатных осей. Точку обычно записывают так: A(x; y; z), где x, y и z отвечают за положение по каждой оси. Такая запись позволяет описывать точки числами и выполнять с ними вычисления.

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, который их соединяет. Если точки заданы пространственными координатами, расстояние находят по изменениям координат от одного конца отрезка до другого. Эта величина помогает сравнивать отрезки и решать задачи, не измеряя их непосредственно.

Координаты середины отрезка — координаты точки, делящей отрезок на две равные части. Каждая координата середины равна полусумме соответствующих координат концов. Это правило позволяет определить середину по концам, а также восстановить неизвестные координаты конца, если известны середина и другой конец.

Как это устроено

Пусть отрезок соединяет точки A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂). При движении от A к B координата x меняется на x₂ − x₁, координата y — на y₂ − y₁, а z — на z₂ − z₁. Эти изменения показывают, насколько отрезок смещён вдоль каждой оси, то есть задают его составляющие в трёх направлениях. Порядок вычитания можно поменять, но тогда изменятся только знаки составляющих.

Оси координат взаимно перпендикулярны, поэтому составляющие отрезка образуют прямоугольные треугольники. Для двух направлений теорема Пифагора даёт квадрат диагонали прямоугольника как сумму квадратов его сторон. Затем к этой диагонали и третьей составляющей применяют ту же теорему ещё раз. Поэтому длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов всех трёх изменений координат.

Та же идея видна на прямоугольном параллелепипеде, у которого отрезок между точками является пространственной диагональю. Сначала находят диагональ основания: её квадрат равен сумме квадратов двух рёбер основания. Пространственная диагональ и третье ребро тоже образуют прямоугольный треугольник. В результате получают формулу AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Середина отрезка находится посередине не только в пространстве, но и по каждой отдельной оси. Например, её координата x должна быть на равном расстоянии от x₁ и x₂, а значит, лежит точно между этими числами. Число посередине двух чисел получают, складывая их и деля сумму на 2. Так отдельно выводятся формулы для координат x, y и z середины.

Обе задачи сводятся к аккуратной подстановке данных. Для расстояния выписывают три разности одноимённых координат, возводят их в квадрат, складывают и извлекают корень. Для середины складывают координаты концов по каждой оси и делят каждую сумму на 2. Запись вычислений по координатам отдельно помогает не перепутать числа и проверить результат.

Простейшие задачи в пространственных координатах

Сначала определите, какой результат требуется: длина, середина или неизвестная координата. Затем выберите соответствующую строку и подставьте координаты, соблюдая порядок x, y, z. Если неизвестную координату нужно найти по середине, запишите формулу для нужной оси и решите её как обычное уравнение.

Разбор задач

Задача 1. Найдите расстояние между точками A(1; 2; −1) и B(4; 6; 1). Нужно сравнить одноимённые координаты, поскольку каждый переход вдоль оси даёт свою составляющую отрезка. Затем применим формулу расстояния в пространстве.

1. Найдём изменения координат: 4 − 1 = 3, 6 − 2 = 4, 1 − (−1) = 2. Это смещения по осям x, y и z.
2. Подставим их в формулу: AB = √(3² + 4² + 2²) = √(9 + 16 + 4) = √29. Складываются квадраты всех трёх смещений.
3. Корень из 29 не упрощается до целого числа. Полученная длина положительна, как и должно быть для расстояния.

Ответ: √29.

Задача 2. Найдите координаты середины отрезка с концами A(−2; 3; 5) и B(4; 1; −1). Середина должна находиться посередине между координатами концов по каждой оси. Поэтому вычислим три полусуммы отдельно, не смешивая координаты разных осей.

1. Для координаты x получаем (−2 + 4)/2 = 1. Это число находится ровно между −2 и 4.
2. Для y получаем (3 + 1)/2 = 2, а для z — (5 + (−1))/2 = 2. В каждой паре складываем значения одной и той же координаты.
3. Объединим результаты в запись точки: M(1; 2; 2). При проверке удвоим координаты M и убедимся, что их суммы с координатами A дают координаты B.

Ответ: M(1; 2; 2).

Задача 3. Точка M(2; −1; 3) — середина отрезка AB, где A(−4; 5; 1). Найдите координаты B. Здесь известны середина и один конец, поэтому для каждой оси составим формулу середины. Из равенства полусуммы выразим координату неизвестной точки.

1. Для x: 2 = (−4 + xᵦ)/2, откуда 4 = −4 + xᵦ и xᵦ = 8. Умножили обе части равенства на 2.
2. Для y: −1 = (5 + yᵦ)/2, откуда −2 = 5 + yᵦ и yᵦ = −7. Отрицательная координата допустима, поскольку она указывает положение относительно начала отсчёта.
3. Для z: 3 = (1 + zᵦ)/2, откуда 6 = 1 + zᵦ и zᵦ = 5. Значит, точка B имеет координаты (8; −7; 5).

Ответ: B(8; −7; 5).

Типичные ошибки

При вычитании координат иногда берут числа в разном порядке, например x₂ − x₁, но y₁ − y₂. Это сбивает с толку при вычислениях, хотя после возведения разностей в квадрат знак уже не влияет на результат. Чтобы проверить себя, сопоставьте каждый квадрат с одной парой одноимённых координат и используйте один порядок вычитания для всех осей.

Если забыть одно из трёх слагаемых в формуле расстояния, получится вычисление для плоскости, а не для пространства. Так бывает, когда запись кажется длинной или одна координата выпадает из внимания. Пересчитайте пары координат: у двух пространственных точек должны быть три разности, три квадрата и три слагаемых под корнем.

При поиске середины можно сложить координаты, но забыть разделить сумму на 2. Тогда получится удвоенное значение координаты середины, а не сама координата. Проверьте результат подстановкой: середина должна давать равные расстояния до концов по каждой оси.

Ещё одна ошибка — путать координаты с длинами отрезков. Координата может быть отрицательной, так как показывает положение относительно начала координат, а расстояние всегда неотрицательно. После вычисления длины проверьте, что под корнем стоит сумма квадратов и что итоговое значение не меньше нуля.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны прямоугольная система координат в пространстве и понимание того, как записывают координаты точки. Теорема Пифагора объясняет, почему квадрат длины отрезка получается сложением квадратов его составляющих. Если координаты и расположение осей пока непривычны, полезно сначала представить смещение точки отдельно по каждому направлению.

Эти формулы становятся инструментами в задачах на векторы и геометрические тела: координаты помогают вычислять длины и находить положение точек. Они также используются при изучении уравнений фигур в координатах. Умение находить расстояние и середину связывает геометрические свойства отрезка с вычислениями.

Что запомнить

• Для каждой точки в пространстве указывают три координаты.
• Расстояние между точками находят по разностям их одноимённых координат.
• В формуле расстояния учитываются все три координаты.
• Расстояние не может быть отрицательным.
• Каждая координата середины равна полусумме соответствующих координат концов.
• Формулы применимы и для нахождения неизвестных координат.